Ausdruck in geschlossener Form für den Dichteoperator für den harmonischen Oszillator im thermischen Gleichgewicht

Ich suche eine geschlossene Form des Dichteoperators des harmonischen Quantenoszillators im thermischen Gleichgewicht, vorzugsweise in Ortsdarstellung. Ich bin mir ziemlich sicher, dass es wie ein kohärenter Zustand aussieht, aber ich konnte es in keinem meiner Bücher oder Online-Quellen finden, die ich überflogen habe. Wenn ich mich gut erinnere, gibt es dafür auch eine Wigner-Funktion in geschlossener Form, also würde ich erwarten, dass es auch eine einfache reine Positionsdarstellung gibt. Aber bitte informieren Sie mich, wenn ich falsch liege, wenn es kein geschlossenes Formular gibt.

Eine kurze Ableitung ist auch willkommen.

BEARBEITEN

Ich habe aufgeschrieben, was ich geschafft habe. Der Dichteoperator für ein kanonisches Ensemble mit$\beta = \frac{1}{k_BT}$sollte sein$\hat \rho = \exp(-\beta \hat H)$.Mit der Identitätsauflösung können wir es schreiben als

$$\begin{aligned} \hat \rho &=\exp(-\beta \hat H)\sum_{n=0}^\infty |n\rangle \langle n|\\ &= \sum_{n=0}^\infty \exp(-\beta E_n)|n\rangle \langle n|\\ &=\sum_{n=0}^\infty \exp\left(-\beta \left(\frac{1}{2}\hbar\omega(n+1) \right) \right)|n\rangle \langle n|\\ \end{aligned}$$ Die Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators sind $$\langle x | n \rangle =\phi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2^nn!}} \left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{\frac{1}{4}}\exp(-\frac{m\omega x^2}{2\hbar})H_n\left(\frac{m\omega}{\hbar} x \right)$$

Die Positionsdarstellung des Dichteoperators ist dann

$$\begin{aligned} \langle x|\hat \rho|x'\rangle &= \sum_{n=0}^\infty \exp\left(-\beta \left(\frac{1}{2}\hbar\omega(n+1) \right) \right)\langle x|n\rangle \langle n|x'\rangle\\ &= \sum_{n=0}^\infty \exp\left(-\beta \left(\frac{1}{2}\hbar\omega(n+1) \right) \right)\phi_n(x) \phi^*_n(x')\\ \end{aligned}$$ Kann diese Summe vereinfacht werden?