Der Zusammenhang zwischen Randbedingungen und der Zustandsdichte eines Systems

Die Zustandsdichte pro Energieeinheit pro Längeneinheit ist sowohl für Perioden- als auch für Starrwand-Randbedingungen gleich. Dafür gibt es zwei Gründe. 1) Mathematik: für periodische Randbedingungen sind die Eigenzustände$\psi_n(x)=\exp(ik_nx)$mit$k_n= 2\pi n/L$. Sie benötigen sowohl positive als auch negative Werte des Impulses$k_n$einen vollständigen Satz von Eigenzuständen zu haben. Für starre Randbedingungen$\psi_n(x)= \sin(k_n x)$mit$k_n = \pi n /L$, aber Sie haben nur positive Werte von$k_n$. Obwohl also die Energieniveaus im periodischen Fall doppelt so weit auseinander liegen, ist jeder periodische Zustand doppelt entartet ($\pm k_n$haben die gleiche Energie). Wenn in Bezug auf aufgetragen$E$, daher und wann$L$groß ist, sehen die Energiespektren im Wesentlichen gleich aus, es sei denn, Sie können Energieordnungsunterschiede auflösen$1/L$. 2) Physik: Damit ein Teilchen in einem großen Bereich weiß, ob es sich in einem periodischen Kasten oder einem mit starren Wänden befindet, muss das Teilchen tatsächlich die Wände und mehrere Male zurückbekommen, um eine stehende Wellenfunktion aufzubauen. Je größer die Box, desto länger die Zeit und desto genauer muss man die Energie messen, um den Unterschied zu erkennen. Wenn Sie also etwas Physikalisches wie die spezifische Wärme pro Volumeneinheit messen, machen die genauen Randbedingungen kaum einen Unterschied.

Beachten Sie auch, dass für starre Wände der Impuls$\hat p$ist keine Observable: Es gibt keine Impuls-Eigenzustände, die mit einer starren Wand kompatibel sind ($\psi(0)=\psi(L)=0$) Randbedingungen. Nur die Energie$E=\hat p^2/2m$ist in diesem Fall ein Observable. Als Ergebnis liefert die Dichte der Eigenzustände pro Energieeinheit den aussagekräftigsten Vergleich zwischen den beiden Fällen.

Die Quintessenz ist, dass, wenn Sie ein sehr großes System beschreiben möchten, die genaue Randbedingung, die Sie an die entfernten Wände stellen, für jede Größe, die Sie in einem Labor messen können, einen vernachlässigbaren Unterschied macht.

Die Physik ist in beiden Situationen nicht gleich. Für ein Teilchen in einer eindimensionalen Box ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen außerhalb der Box befindet, null. Da die Wellenfunktion stetig sein soll, müssen wir die Randbedingung aufstellen$\psi(0)=\psi(L)=0$. Daher muss das Ergebnis zeitunabhängig und von allgemeiner Form sein

Wir legen periodische Randbedingungen fest, wenn wir die ebene Wellenfunktion normieren oder eine obere Grenze für die Wellenlänge festlegen wollen. Manchmal verwenden wir es sogar nur als Technik, um Probleme zu lösen und einzustellen$k\rightarrow\infty$nachdem sie gelöst wurden. In diesem Fall ist die Wellenfunktion überall definiert (auch außerhalb der „Box“). Da es nirgendwo unendliches Potenzial gibt, beides$\psi(x)$,$\psi'(x)$müssen kontinuierlich sein. Daher lauten die Randbedingungen$\psi(x)=\psi(x+L)$Und$\psi'(x)=\psi'(x+L)$. Das Ergebnis kann von der Zeit und von der allgemeinen Form abhängen

Wenn wir Ihre periodische Randbedingung einhalten$\psi(0)=0$Und$\psi(x+L)=\psi(x)$, was ich für unangemessen halte, können wir immer noch sehen, wo das Problem liegt. Diese Randbedingung kann die erste Randbedingung implizieren$\psi(0)=\psi(L)=0$, aber die Umkehrung gilt nicht. Daher ist es vernünftig, dass die Lösungen des zweiten Falls im ersten Fall enthalten sind.