Entropiezunahme vs. Informationserhaltung (QM)

Die Einheitlichkeit der Quantenmechanik verbietet die Zerstörung von Informationen. Andererseits behauptet der zweite Hauptsatz der Thermodynamik, dass die Entropie zunimmt. Wenn die Entropie als Maß für den Informationsgehalt gedacht werden soll, wie können diese beiden Prinzipien miteinander vereinbar sein?

Ich glaube nicht, dass an diesem Paradoxon irgendetwas von Natur aus quantenmechanisch ist. Die gleiche Frage könnte in der klassischen Physik gestellt werden. Bei einem Hamilton-System ist die Dynamik immer umkehrbar, sodass Informationen erhalten bleiben. Man könnte dann fragen, wie die Entropie für ein klassisches System zunehmen kann, wenn die Entropie ein Informationsmaß ist.

Die Auflösung besteht darin, dass die Entropie kein Maß für den gesamten Informationsgehalt eines Systems ist, sondern ein Maß für die Menge an verborgener Information, dh Information, die für makroskopische Messungen unzugänglich ist.

Angenommen, ein Buch rutscht über einen Tisch, bis es durch Reibung zum Stillstand kommt. Theoretisch können wir in den Raum gehen, das angehaltene Buch beobachten, die Positionen und Impulse aller Teilchen messen, aus denen es besteht, und dann die Newtonschen Gesetze verwenden, um in der Zeit zurück zu extrapolieren und zu sehen, dass das Buch in eine bestimmte Richtung geschoben worden sein muss Richtung, zu einer bestimmten Zeit, mit einer bestimmten Geschwindigkeit. Aber in Wirklichkeit ist uns diese Information verborgen, weil andere Geschichten des Buches zu Endzuständen geführt hätten, die von diesem Zustand durch makroskopische Messungen nicht zu unterscheiden sind.

Die Gesamtinformation ist gleich geblieben, aber die Menge an versteckter Information hat zugenommen.

Nachdem ich dies aufgeschrieben habe, scheint es mir nur eine erweiterte Version von Trimoks Antwort zu sein, aber ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich ihn richtig verstanden habe.

Meine Ansicht ist, dass die thermodynamische Entropie nicht eins zu eins die quantenmechanische von-Neumann-Entropie ist. Wie Sie bereits betont haben, impliziert die Einheitlichkeit der Quantenmechanik, dass die Gesamtentropie des Universums konstant bleibt. Um dies zu berechnen, benötigen Sie jedoch den Zustand des Universums.

Nun ist die Entropie in der Thermodynamik eine umfangreiche Eigenschaft. Die Entropie eines Systems ist gleich der Summe der Entropien seiner (nicht wechselwirkenden) Teilsysteme. Das heißt, um die thermodynamische Entropie zu berechnen, können Sie Ihr System in kleinere, nicht wechselwirkende Teile unterteilen. Oft werden Sie dies tun, ohne tatsächlich nicht interagierende Systeme zu haben - Sie vernachlässigen einfach bestimmte dissipative Prozesse, unterteilen Ihr System und addieren die Entropien. Ein Beispiel, von dem Sie in der statistischen Mechanik gehört haben, sind die zwei identischen Kästchen mit Teilchen, die Sie zusammenfügen, und dann haben Sie die doppelte Entropie.

Dies gilt nicht für die quantenmechanische Entropie. Entropie ist nicht additiv, sondern subadditiv (außer bei trennbaren Zuständen, dann ist sie additiv). Das bedeutet, dass die Summe der Entropie eines Systemteils größer ist als die Entropie der Summe. Und in diesem Sinne macht für mich der zweite Hauptsatz Sinn: Ein wechselwirkendes System wird Verschränkung durch Wechselwirkung verteilen – diese Verschränkung zerstört die Additivität der Entropie und sorgt dafür, dass am Ende die thermodynamische Entropie tatsächlich größer sein wird als die von Neumann Entropie des Systems (die bei einheitlicher Zeitentwicklung nicht wächst).

Anders ausgedrückt: Die von Neumann-Entropie des Systems ist die Gesamtinformation im System und bleibt erhalten. Wenn die thermodynamische Entropie gleich ist (das System befindet sich in großen Produktzuständen), dann kann auf alle diese Informationen gewissermaßen lokal zugegriffen werden. Die Änderung der thermodynamischen Entropie sagt uns dann, wie viel von dieser Information global verteilt wird, also lokal unzugänglich ist (beginnt die Entropie bei 0, dann würde das bedeuten, dass die Entropie die Menge an Information misst, die im globalen liegt Verschränkung, also "einheitliche Information"?).

Fazit: Da unsere thermodynamische Entropie normalerweise aus lokalen Entropien von Subsystemen berechnet wird, besagt der zweite Hauptsatz, dass das System mit der Zeit global immer mehr verschränkt wird. Die wahre von Neumann-Entropie des gesamten Systems wird jedoch immer dieselbe sein.

Denken Sie auch daran, dass einige der bekannten Begriffe der Thermodynamik (z. B. Temperatur) sich mit Fällen befassen, in denen uns Freiheitsgrade verborgen sind (z. B. der des thermischen Reservoirs). Der Weg, dies in der Quantenmechanik zu formulieren, führt über zusammengesetzte Systeme, die Dichtematrixformulierung und Teilspuren.

Wenn wir, quantenmechanisch gesprochen, vollständiges Wissen über ein System haben, dann befindet sich dieses System in einem Zustand und nur einem Zustand (Heisenberg-Bild, wenn Sie so wollen) und bleibt für immer in diesem Zustand, und daher gibt es keine Entropie oder Entropieänderung oder was auch immer. Aber indem wir behaupten, Teile des Systems nicht zu kennen, stellen wir die klassischen Begriffe der statistischen Mechanik wieder her. Vielleicht möchten Sie etwas über die Von-Neumann-Entropie lesen .

Die Informationsinterpretation der Entropie , auch bekannt als Shannon-Entropie, interpretiert Entropie als eine zeitliche Zunahme der in einem geschlossenen System enthaltenen Informationsmenge. Diese Interpretation ist für Informationstheoretiker, einschließlich vieler Computerprogrammierer, ansprechend, scheint jedoch oberflächlich betrachtet dem quantenmechanischen Informationserhaltungssatz zu widersprechen .

Die Auflösung dieses offensichtlichen Widerspruchs besteht, wie andere angemerkt haben, darin, dass die Shannon-Entropie und die Quantenmechanik leicht unterschiedliche Definitionen von "Information" verwenden. Locker: In der Quantenmechanik ist es die gesamte unkomprimierte Information, während es in der Shannon-Entropie die gesamte komprimierte Information ist. Betrachten Sie zur Veranschaulichung die folgenden Bitmaps:

In Worten: Das 1. Bitmap ist beschrieben: Ein 6x6-Gitter mit 6 Pixeln über der obersten Reihe (schön und kurz); während das 2. Bitmap beschrieben wird: Ein 6x6-Gitter mit 6 Pixeln in den Positionen (4,1), (5,3), (6,3), (2,4), (4,5) (viel länger).

In Computern: Eine komprimierte Datei (.gif) der 1. Bitmap ist viel kleiner als die der 2. Bitmap.

Beide Bitmaps haben die gleiche Größe und enthalten die gleiche Anzahl von Pixeln, sodass die Gesamtmenge der unkomprimierten Informationen in ihnen gemäß der Informationserhaltung gleich ist. Allerdings können die Informationen im 1. Bitmap stärker verlustfrei komprimiert werden, sodass das 2. Bitmap mehr komprimierte Informationen enthält. Dementsprechend ist die Entropie der 2. Bitmap ohne (unkomprimierten) Informationsverlust höher.

Anmerkungen:

• Dieses Beispiel ist eine starke Vereinfachung, aber gut genug, um den Punkt zu verdeutlichen. Zum einen bezieht sich „Information“ in beiden Systemen auf dynamische Systeme, während dieses Beispiel auf einem statischen System basiert. Jeder, der MPEG-Komprimierung versteht, kann das Beispiel auf ein dynamisches System erweitern und sehen, dass die gleichen Grundprinzipien gelten. Zum anderen befasst sich die Shannon-Entropie eher mit Wahrscheinlichkeiten als mit einem bestimmten Komprimierungsalgorithmus, aber die Analogie funktioniert gut genug.
• Anstelle von "Komprimierung" verwenden manche gerne "Reihenfolge": Das 1. Bitmap ist "geordneter" als das 2. Bitmap. Eine ähnliche Interpretation ist "Einheitlichkeit": Das 1. Bitmap ist "einheitlicher" als das 2. Bitmap. Die Schwierigkeit bei dieser Wortwahl besteht darin, dass im Klartext eine Flüssigkeit in einem geschlossenen thermodynamischen System bei maximaler Entropie „einheitlich“ oder „geordnet“ erscheint – Temperatur, Druck und Moleküle sind gleichmäßig über das System verteilt – so dass es leicht passieren kann zu Verwirrung führen. Die Komprimierung ist ohne Informatikhintergrund schwieriger zu verstehen, wird aber weniger wahrscheinlich falsch interpretiert.
• Für diejenigen ohne Informatikhintergrund hilft hoffentlich die Erklärung in Worten. Alternativ kann die Verwendung des Begriffs "versteckte" Informationen (gemäß einer anderen Antwort) hilfreich sein oder nicht.

Entropie kann als "einheitliche" Information angesehen werden. Zum Beispiel können wir in einem kanonischen Formalismus (konstante Temperatur) schreiben$\beta F = \beta U- \frac{S}{k}$, wo$F$die Helmholtz-Freie Energie ist, und$U$die innere Energie.$\beta U$stellt die Gesamtinformation dar,$\beta F$stellt die uneinheitliche Information dar, und$\frac{S}{k}$stellt einheitliche Informationen dar.

Der Zusammenbruch der Wellenfunktion (oder eine Messung am QM-System) ist nicht einheitlich, da es sich um eine Projektion des Zustandsvektors handelt.

Meiner bescheidenen Meinung nach hängt die Antwort auf die Frage damit zusammen, dass bei projektiven Messungen die Entropie des Zustands immer zunimmt oder gleich bleibt. Allerdings sollte man meines Erachtens auch die Entropie des Messsystems berücksichtigen. Intuitiv denke ich, dass die Entropie des Messsystems abnehmen oder gleich bleiben muss, während die Entropie des gemessenen Systems zunimmt oder gleich bleibt. Ich denke, man müsste sich einen neuen Formalismus einfallen lassen, um solche Messungen zu beschreiben. Meiner bescheidenen Meinung nach würde der Formalismus in etwa so aussehen:

1. Das Messsystem muss ebenso wie das gemessene System durch einen Zustand beschrieben werden.
2. Sowohl der Zustand des Messsystems als auch der Zustand des gemessenen Systems ändern sich nach der Messung.

Wenn Sie in der Lage sind, einen Formalismus zu finden, der dies beschreibt, sollte daraus hoffentlich als Folgerung folgen, dass die Entropie des Messsystems abnimmt oder gleich bleibt, während die Entropie des gemessenen Systems zunimmt oder gleich bleibt.

Einige Kommentare zu den Räumlichkeiten können nützlich sein und die Frage beantworten:

[1] Die Einheitlichkeit der Quantenmechanik verbietet die Zerstörung von Informationen.

Was dies wirklich bedeutet, ist die von Neumann-Evolutionsgleichung für die Dichtematrix$D(t)$eines isolierten Systems verbietet eine Änderung der von Neumann-Entropie:

Ganz ähnlich verbietet die Hamiltonsche Evolution in der klassischen Mechanik die Änderung des Informationsentropiefunktionals ("Gibbs-Entropie"):

Weder$N$Noch$I$sind das gleiche Konzept wie die thermodynamische Entropie$S$. Für die thermodynamische Entropie ist es durchaus möglich$S$zu erhöhen, während diese konstant bleiben (z. B. wenn irreversible Arbeit am System ohne Wärmeaustausch verrichtet wird). Dies wird von Jaynes in seinen Papieren erklärt.

[2] Andererseits behauptet der zweite Hauptsatz der Thermodynamik, dass die Entropie zunimmt.

Nein, für thermisch isolierte Systeme (auf die sich die obigen beziehen) behauptet der zweite Hauptsatz der Thermodynamik:

wenn das thermisch isolierte System einen thermodynamischen Gleichgewichtszustand verlassen hat$A$in einen anderen thermodynamischen Gleichgewichtszustand$B$(der Prozess ist also adiabat), Erhöhung seiner thermodynamischen Entropie$S$größer oder gleich 0 ist.

Wenn die Entropie als Maß für den Informationsgehalt gedacht werden soll, wie können diese beiden Prinzipien miteinander vereinbar sein?

Thermodynamische Entropie$S(U,V,N)$kann als Maximalwert der von-Neumann/Gibbs-Entropie für alle angesehen werden$D$oder$\rho$mit Einschränkungen vereinbar$U,V,N$und kann somit tatsächlich als Informationsmaß angesehen werden, das fehlt, um den Mikrozustand oder "Informationsgehalt" anzugeben, obwohl es ein sehr irreführender Name ist. Der bessere Begriff ist einfach "Informationsentropie des Makrozustands", da er von letzterem abhängt.

Diese Aussagen widersprechen sich nicht. Im Gegenteil, es kann gezeigt werden, dass in dem Prozess, in dem der Zustand A in einem irreversiblen adiabatischen Prozess in den Zustand B übergegangen ist, Konstanz von$I$zusammen mit der Reproduzierbarkeit des resultierenden Zustands des festgelegten adiabatischen Prozesses implizieren dies$\Delta S \geq 0$.

Jaynes, ET, 1965, „Gibbs vs. Boltzmann Entropies“, Am. J. Phys., 33, 391 http://bayes.wustl.edu/etj/articles/gibbs.vs.boltzmann.pdf sek. 4,5

Genau zu dieser Frage habe ich einen Artikel geschrieben! https://aurelien-pelissier.medium.com/on-the-conservation-of-information-and-the-second-law-of-thermodynamics-f22c0645d8ec

Um es kurz zu machen, die durch den Satz von Liouville eingeschränkte Entropie (oder Information) ist nicht dasselbe wie die Entropie, von der der zweite Hauptsatz spricht. Letzteres spricht von der Menge an verborgener Information (Informationen, die makroskopischen Messungen nicht zugänglich sind), während ersteres den gesamten Informationsgehalt eines Systems bezeichnet. Oder anders gesagt, die Irreversibilität der Thermodynamik ist ein statistischer Effekt und steht nicht im Widerspruch zur Reversibilität der klassischen Quantenmechanik.

Diese haben etwas weiter zu gehen mit den Unterschieden zwischen der feinkörnigen und der grobkörnigen Entropie des Systems zu tun. Die Von-Neuman-Entropie ist typischerweise feinkörnig, sodass sie in einem geschlossenen System konstant bleibt. Andererseits besagt der zweite Hauptsatz, dass die grobkörnige Entropie eines abgeschlossenen Systems zunimmt .

Das Verbot der Informationsvernichtung aufgrund von Einheitlichkeit ist eine Heuchelei (Entschuldigung, ich wiederhole einiges aus dem Post „Wohin gehen gelöschte Informationen?“ ), und das Konzept der Entropie ist neblig, insbesondere im Quantenkontext: trotz der Definitionen, die in erwähnt werden vorherigen Antworten gibt es keine Möglichkeit, jemals den Quantenzustand eines realistisch komplexen materiellen Systems zu kennen .

Sie fragen, wie man Thermodynamik mit Quantenmechanik in Einklang bringen kann. Kurze Antwort: Es gibt zwei verschiedene Entwicklungen . Einheitliche Evolution beschreibt die Sichtweise der Quantenmechanik, aber wir, gewissenhafte Wesen, sehen ein völlig anderes Bild, weil wir Negentropie verbrauchen (oder Entropie produzieren, wenn Sie es lieber mögen). Während die Quantenmechanik den gesamten „Quantenzustand“ (von außerhalb des Universums) sieht, während sie eine einheitliche Evolution durchmacht, können wir sie nicht sehen.

Warum ist es so? Vorwände für die Antwort sind drei Punkte:

1. wir, gewissenhafte Wesen, gehören auch zu dieser Welt;
2. Quantenüberlagerung; und
3. Offene Quantensysteme.

Aus dem Punkt 1 folgt, dass ein bewusstes Wesen sowohl als Quantensystem als auch als Objekte beschrieben werden sollte, dass es Quantenzustände haben sollte. Obwohl es begründete Zweifel gibt, dass ein Quantenzustand ohne einen externen Beobachter wohldefiniert werden kann , ist dies nicht entscheidend, da wir von einem sehr entfernten (anderen) Beobachter ausgehen können. Stellen Sie sich zwei „Versionen“ eines gewissenhaften Wesens vor, eine mit einem Gedanken  A und einem entsprechenden Zustand Ψ _A und eine andere mit einem Gedanken  B und einem entsprechenden Zustand Ψ _B . Wir nehmen an, dass jeder der Zustände die Entwicklung in der Zukunft zulässt. Wenden Sie nun den Punkt 2 an, betrachten Sie einen Zustand in Superposition, wie zum Beispiel:

Wir spüren den Pfeil der Zeit. Mit anderen Worten, wir behalten in zukünftigen Zuständen Erinnerungen an die Vergangenheit. Hier ist der Punkt 3 notwendig. Ein offenes Quantensystem ist etwas, das mit der Umgebung interagiert (also möglicherweise mit dem gesamten Universum). Prozesse, die für diese Theorie spezifisch sind, werden manchmal als Dekohärenz , manchmal als Superselektion bezeichnet , aber im Wesentlichen ist es dasselbe: Eine Eins-zu-Eins-Entsprechung von Zustandsvektoren ist nicht unbedingt eine Eins-zu-Eins-Entsprechung unseres Gewissens. Leider bin ich kein wirklicher Experte auf diesem Gebiet, und niemand versteht gut, wie das passiert; Bitte fragen Sie mich nicht danach. Niemand weiß sicher, ob unser Geist perfekt in einem System laufen könnteabgeschlossen. Ich persönlich denke, dass kosmologische Faktoren eine gewisse Rolle bei der Offenheit der Quantenevolution spielen (obwohl viele Physiker dies als Häresie bezeichnen würden). Aber unabhängig von Mechanismen nimmt die sogenannte „Entropie“ zu, wenn wir in die Zukunft fortschreiten (Sie können fragen, wie die Zunahme der Entropie unseren Zeitpfeil liefert, aber es ist reine Thermodynamik und Informationstheorie und keine Quantenphysik). Deshalb sind unsere erfahrungsgesteuerten Übergänge , und diese Übergänge von einem Zustand in einen anderen, mit möglicherweise alternativen Versionen der Zukunft, unsere Evolution thermodynamischer Wesen . Es ist etwas, das der einheitlichen Evolution absolut unähnlich ist, und es manifestiert sich auf Quantenebene als von Neumanns Zustandsvektorreduktion, auch bekannt als Wellenfunktionskollaps.

Warum laufen diese seltsamen Prozesse eigentlich ab und das noch dazu nur in einer Zeitrichtung? Warum kann sich unsere Vergangenheit theoretisch in mehrere Zukünfte verwandeln, aber mehrere Versionen der Vergangenheit können sich nicht in einer Zukunft vereinen? Es gibt einige Vorschläge, aber im Allgemeinen ist es ein offenes Problem. Roger Penrose meint, es liegt an der geringen Entropie der kosmologischen Singularität, ich denke, es ergibt sich aus der „wahren Struktur der Raumzeit“, und möglicherweise schließen sich unterschiedliche Ansichten nicht gegenseitig aus. Aber die Zunahme der Entropie während thermodynamischer Prozesse ist eine experimentelle Tatsache, die wir, thermodynamische Wesen, leicht bemerken können.