Wie kann die Entropie in der Quantenmechanik zunehmen?

Die Gesamtentropie eines isolierten Systems ändert sich tatsächlich nicht unter der Entwicklung der Schrödingerzeit. Um dies zu sehen, beachten Sie, dass (unter der Annahme, dass der Hamilton-Operator der Einfachheit halber nicht explizit von der Zeit abhängt) die Dichtematrix des Systems die Von-Neumann-Gleichung erfüllt$\rho(t) = e^{-i H t / \hbar}\, \rho(0)\, e^{i H t / \hbar}$, Also$\rho(t)$und$\rho(0)$sind immer unitär äquivalent und haben daher die gleichen Eigenwertspektren. Daher ist jedes Entropiemaß, das nur von den Gewichten der Dichtematrix abhängt (was praktisch alle sind), zeitlich konstant.

Aber die Verschränkungsentropie zwischen Subsystemen kann tatsächlich zunehmen, weil die Subsysteme nicht isoliert sind. Wenn also das System beispielsweise in einem Produktzustand ohne räumliche Verschränkung zwischen seinen Subsystemen beginnt, dann führt die generische Schrödinger-Zeitentwicklung zu einer zunehmenden Verschränkung zwischen den Subsystemen, also dem LokalenDie Entropie, die mit jedem kleinen Teil des gesamten Systems verbunden ist, wird tatsächlich zunehmen, selbst wenn die Gesamtentropie konstant bleibt. Diese Tatsache beruht auf einem sehr unklassischen Merkmal der Von-Neumann-Entropie, nämlich dass die Summe der Entropien der Teilsysteme größer sein kann als die Entropie des Systems als Ganzes. (In der Tat betrachten wir bei der Untersuchung der Verschränkung des Grundzustands oft Systeme, bei denen die Teilsysteme eine sehr große Verschränkungsentropie haben, aber das System als Ganzes in einem reinen Zustand ist und daher keine Entropie hat ! )

Die Teilgebiete „Eigenzustands-Thermalisierung“, „Verschränkungsausbreitung“ und „Vielteilchen-Lokalisierung“ – die alle heute sehr aktiv erforscht werden – untersuchen die Art und Weise, wie die Schrödinger-Zeitentwicklung verschiedener Systeme zu einer Zunahme führt oder nicht Verschränkungsentropie von Subsystemen, auch wenn die Entropie des Gesamtsystems immer gleich bleibt.

Obwohl tparker eine allgemein verbreitete Ansicht zum Ausdruck bringt, bin ich anderer Meinung. Die Entropie in geschlossenen Systemen – sei es quantenmechanisch oder klassisch – kann tatsächlich zunehmen . Dies sollte aus physikalischer Sicht völlig offensichtlich sein: Stellen Sie sich eine geschlossene Gasbox vor, in der sich im Anfangszustand das gesamte Gas in der oberen linken Ecke der Box befindet. Dies wird sich mit der Zeit deutlich homogenisieren, mit einer deutlichen Entropiezunahme. Diese Intuition ist im Quantenkontext nicht anders, aber ich werde versuchen, dies im Folgenden näher zu erläutern.

Natürlich, wenn Sie sagen$S = k \log \left( \dim \mathcal H \right)$, es kann sich im Laufe der Zeit nicht ändern. Aber das ist nicht unbedingt der Ausdruck für die Entropie eines abgeschlossenen Systems. Im Allgemeinen ist das, was Sie in den Logarithmus eingeben, das Phasenraumvolumen, das mit dem übereinstimmt, was Sie über Ihr geschlossenes System wissen. Wenn alles, was Sie über Ihr System wissen, sein Hilbert-Raum ist (klassisches Analogon: alles, was Sie von einer Box wissen, ist ihr klassischer Phasenraum), dann müssen Sie unbedingt damit rechnen, dass sich das System in seinem Gesamtzustand maximaler Entropie befindet (klassisches Analogon: Sie sind nehme an, dass das Gas in der Box homogen ist), in diesem Fall ändert sich natürlich nichts mit der Zeit.

In anderen Fällen wissen Sie jedoch möglicherweise mehr über Ihr System, z. B. kennen Sie möglicherweise eine (anfängliche) inhomogene räumliche Verteilung (diese Spezifikation wird als Makrozustand bezeichnet ). Klassischerweise berechnet die Entropie dieses Zustands das Volumen$\Omega$überspannt von allen Mikrozuständen (dh Punkten im Phasenraum), die mit diesem Makrozustand übereinstimmen (man sagt äquivalent, dass die Makrozustandsvariablen den Phasenraum aufteilen). Wenn Sie den Logarithmus dieser Zahl nehmen, erhalten Sie die Entropie des geschlossenen Systems in diesem Makrozustand. Dies ist die bekannte Boltzmann-Entropie $S = k \log \Omega$, und dies nimmt bei geschlossenen Systemen mit der Zeit sicherlich zu (es sei denn, Sie haben bereits in einem Zustand maximaler Entropie begonnen). [Beachten Sie interessanterweise, dass die Gibbs-Entropie für geschlossene Systeme nicht zunehmen kann (eine Folge des Satzes von Liouville), was zeigt, dass die Boltzmann-Entropie, wage ich zu sagen, besser ist. Einige sagen, die Boltzmann-Entropie sei ein Spezialfall der Gibbs-Entropie, aber das gilt nur für den langweiligen Fall der maximalen Entropie.]

Dasselbe gilt im Quantenfall: Angenommen, Sie haben ein isoliertes System mit einem gewissen Hilbert-Raum$\mathcal H \cong \mathbb C^N$. Angenommen, alles, was Sie über das System wissen, ist eine Liste von Erwartungswerten einiger Observablen. Betrachten Sie die Menge der Zustände$\mathcal S \subset \mathcal H$im Einklang mit diesem Wissen. Wir wollen eine sinnvolle Lautstärke zuweisen$\Omega_{\mathcal S}$dazu, so dass wir dann die Boltzmann-Entropie definieren können$S = k \log \Omega_{\mathcal S}$. Wenn alles , was wir wissen, der Hilbert-Raum ist (dh wir haben völlige Unwissenheit, so dass$\mathcal S = \mathcal H$), dann ist es sinnvoll zu definieren$\Omega = \dim \left( \mathcal H \right) = N$Seitdem ist die Entropie additiv: Wenn Sie zwei entkoppelte Systeme hinzufügen, sind ihre Hilbert-Räume Tensorprodukte, sodass sich ihre Dimensionen vervielfachen und daher$\log \Omega$ist tatsächlich additiv. Das stimmt mit dem überein, was Ihr Professor aufgeschrieben hat. Allgemeiner, wenn$\mathcal S$ist lediglich ein Teilbereich des Gesamtraumes, den wir zuordnen würden$\Omega$der entsprechende Bruch sein. Dies kann sinnvoll wie folgt definiert werden: let$\pi: \mathbb C^N \to \mathbb CP^{N-1}$die Projektion auf den projektiven Hilbertraum bezeichnen (d.h. wir modifizieren durch den Eichfreiheitsgrad), dann haben wir jetzt eine kompakte Mannigfaltigkeit (mit einer Untermannigfaltigkeit$\pi(\mathcal S)$) so dass wir zuordnen können