Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Oszillator in einem bestimmten Zustand befindet, mithilfe der Partitionsfunktion?

Ihre Berechnung sieht für mich gut aus (technisch gesehen sollte Ihre Partitionsfunktion einen zusätzlichen Faktor von haben$e^{-\frac 12 \beta\hbar\omega}$, aber das ist unwichtig, da es sich in allen Observablen aufhebt).

Bearbeiten: Wie im Kommentar von abcXYZ entspricht die Wahrscheinlichkeit, das System in einem Zustand zu finden, einem beliebigen ungeraden Wert von$n$Ist

$$P(n~\text{is odd}) = (1-x)(x + x^3 + \ldots + x^{2k-1} + \ldots) = \frac{(1-x)x}{1-x^2} = \frac{x}{1+x}$$ Wo $x = e^{-\beta\hbar\omega}$. Um etwas Vertrauen zu schaffen, dass dies tatsächlich die richtige Antwort ist, können wir einige Grenzen überprüfen:

• Bei$T=0$, erwarten wir, dass sich dieser Oszillator in seinem Grundzustand befindet, und daher$n$kann nicht seltsam sein.$T=0$entspricht$\beta = \infty$, und deshalb$x=0$, was tatsächlich gibt$P=0$in unserer Formel.
• Als$T \to \infty$, erwarten wir, dass sich der Oszillator über alle Energieeigenzustände ausbreitet, und daher die Wahrscheinlichkeiten von$n$ungerade oder gerade gleich sein. Und in der Tat,$T \to \infty$entspricht$x \to 1$, für die unsere Formel gibt$P \to \frac 12$.

Es ist eine gute Angewohnheit, diese Art von einfachen Überprüfungen an allen Formeln durchzuführen, die Sie ableiten.

Angesichts Ihrer Partitionsfunktion können Sie einen heuristischen Ansatz wie in der anderen Antwort verwenden, aber wenn Sie ihn berechnen möchten, möchten Sie den Dichteoperator konstruieren$\rho$für Ihr System und finden Sie dann Wahrscheinlichkeiten über

$$\mathcal{P}_n = Tr(\rho P_n)$$

Wo$P_n$ist der Projektionsoperator der$n^{th}$Reiner Zustand.

Dies ist eine sehr ähnliche Frage, die ich kürzlich beantwortet habe. Hier ist eine schöne Einführung in die Physik der Quantenstatistik, die die Eigenschaften von detailliert beschreibt$\rho$. Auf der letzten Seite dieses Artikels wird gezeigt, wie die Partitionsfunktion analytisch abgeleitet wird.