Unterschied in der Zustandssumme von klassischem und quantenidealem Gas

Zuerst habe ich diese Frage gelesen: Was ist mit dem Begriff "Einzelteilchenzustand" gemeint?

In meinem Buch (Mandle F. Statistical Physics) findet eine Analyse statt, die mich an einen verwirrenden Punkt gebracht hat.

In Kapitel 7 des Buches gibt es eine Analyse des klassischen idealen Gases. Das ist bewiesen

Z gesamt = 1 N ! ( Z 1 ) N
und das
Z 1 = Z tr Z int
Wo Z gesamt ist die gesamte Partitionsfunktion des Systems und Z tr Und Z int sind die Transaktions- und internen Partitionsfunktionen eines Subsystems im kanonischen Ensemble. Außerdem wissen wir aus Kapitel 2, dass die Zustandssumme allgemein die Form hat:
Z 1 G e N e R A l = ∑ R G ( ϵ R ) exp ⁡ [ − ϵ R k T ] . ( 1 )

Bei der Definition des klassischen idealen Gases haben wir, dass Energien existieren

ϵ 1 ≤ ϵ 2 ≤ ϵ 3 … ≤ ϵ R
entsprechend einem diskreten Satz von Quantenzuständen, die mit notiert sind 1 , 2 , 3 … R wo nur ein einzigartiges Molekül existieren kann. Dann bestimmen wir den Zustand des gesamten Gases, indem wir einen Katalog der Moleküle definieren, die jeden bestimmten Zustand definieren N R als Besetzungsnummer des Staates R .

Frage :

In Kapitel 9 findet man den Ausdruck der Zustandssumme eines idealen Quantengases:

Z Knirps = ∑ N 1 , N 2 … exp ⁡ ( − ∑ R N R ϵ R k T )                 ( 2 )
und es ist:
E ( N 1 , N 2 , . . . ) = ∑ R N R ϵ R
Und
N = ∑ R N R .

Warum also dieser Unterschied zwischen (1) und (2) bei der Exponentialfunktion? Warum nicht auch die Summe der Besetzungszahlen in (1) verwenden? Obwohl ich, wenn ich die Beziehungen für selbstverständlich halte, einige Dinge beweisen kann, verstehe ich nicht, warum die Partitionsfunktionen in dieser Analyse unterschiedlich sind. Ich meine, um es klarzustellen, warum gibt es eine Summe beim Exponenten von (2) und nicht (1) oder umgekehrt? Wenn es um ununterscheidbare Partikel im QM geht, oder dass die N R Die Zahl in der zweiten Relation wird nicht als konstant angesehen, aber in einer aus irgendeinem Grund ist sie es, kann jemand das näher erläutern?

Außerdem scheint es mir, dass ich die Bedeutung eines einzigartigen Moleküls nicht ganz verstehe, vielleicht bezieht es sich auf den Zustand eines einzelnen Teilchens, von dem ich verstehe, dass es das ist, was man im Quantengas im Unterschied zu dem klassischen untersucht, wo man ein Teilchen untersucht um das statistische Verhalten des Systems zu bestimmen.

Danke schön.

In Frage 1 definieren Sie ein klassisches ideales Gas, während Sie es mit diskreten Quantenzuständen beschreiben. Es sieht also so aus, als wären Klassik und Quanten gemischt ...
Hallo @roygvib Ja. Ich weiss. Ich denke, zur Vereinfachung quantisiert der Autor die Energiezustände. Jedenfalls ist das die Analyse in dem Buch. In Kapitel 7, nach der erwähnten Analyse, analysiert er reale Gase und dort ist es realistischer, ich meine, er nutzt die Hamiltonsche Funktion und den Phasenraum.
@roygvib Beachten Sie auch, dass es in Kapitel 7 eine Analyse im Phasenraum gibt, bei der die Zustandsdichte für den Impuls verwendet und integriert wird - er macht ein diskretes Spektrum zu einem Kontinuum. Daraus leitet der Autor die Entropie eines klassischen idealen Gases ab, mit dem Problem, dass die Entropie unendlich wird, wenn die Temperatur auf Null geht. Das liegt genau daran, dass die Zustandsdichte für Impuls gleich Null nicht gelten kann. Wie gesagt, er nimmt die Energiezustände quantisiert.
Ich denke, Ihre Verwirrung rührt teilweise von der Tatsache her, dass Z_1 eine Ein-Teilchen-Partitionsfunktion ist, während Z_tot eine Viel-Teilchen-Partitionsfunktion ist; sie beschreiben unterschiedliche Teilchenzahlen. Eine weitere Verwirrung ist ihre Notation. In Gl. (1) wird die Energie durch den Großbuchstaben E_r dargestellt, während in Frage 1 die Energie klein geschrieben wird (e_r). Stehen diese auch im Lehrbuch? Bitte beachten Sie auch, dass in Gleichung (1) g(E_r) die Anzahl der Zustände berücksichtigt, die dieselbe Energie E_r haben.
@roygvib Ich habe eine Bearbeitung vorgenommen. Das E in (1) sollte ε sein. Danke für den Hinweis.
Ich möchte das wirklich beantworten, aber ich kann nicht genau sagen, was Sie fragen. Ich denke, wenn dieser Beitrag in mehrere kleinere und gezieltere Fragen aufgeteilt würde, würde jede einzelne eine bessere Antwort erhalten, als dies hier wahrscheinlich der Fall ist.
Zum Beispiel ist dieser Satz: „Ich verstehe, dass hier etwas mit der Einzelzustandsbedeutung spielt …“ schwer zu verstehen. Kannst du genauer sagen, was du nicht verstehst?
@DanielSank Zuerst danke für deinen Kommentar. Ich bin in einer Position, in der ich daran denke, den Beitrag tatsächlich zu löschen und ihn in separate Fragen umzuformulieren - teilweise, weil ich zu verwirrt bin. Wenn Sie können, sagen Sie mir für die zweite Frage, warum Sie den Begriff denken ∑ N R e R kommt in die Zustandssumme von relatio 2, aber nicht in 1 (klassisches Gas)? Ich werde versuchen, meinen Beitrag zu bearbeiten. Danke schön.
@DanielSank Hat eine Bearbeitung vorgenommen. Wenn der Beitrag immer noch unklar oder "unordentlich" ist, wenn ich das sagen darf, kommentieren Sie ihn bitte und ich werde sehen, was ich tun kann. Aber ich denke, jetzt gibt es nur eine Hauptfrage und einen Gedanken am Ende von etwas, das mich verwirrt hat - vielleicht habe ich den ganzen Ein-Teilchen-Zustand nur falsch verstanden. Danke.
Großartig. Dabei kann ich definitiv helfen. Bitte werfen Sie zunächst einen Blick auf diese Antwort . Das meiste, was ich hier als Antwort schreiben würde, ist nur eine Umformulierung dessen, was ich dort geschrieben habe. Nachdem Sie das gelesen haben, könnte dies Einfluss darauf haben, wie Sie diese Frage formulieren.
@DanielSank Schöne Antwort dort. Wenn ich nicht sage, dass die Summe ∑ ε R N R in (2) wegen ununterscheidbarer Teilchen existieren und vielleicht weil die Teilchen jedes Zustands keine feste Zahl sind, dann muss ich fragen, warum dieses Problem im klassischen Gas durch Multiplikation mit gelöst wird 1 N ! und im Quantengas ist es das nicht. Weil das klassische Gas eine feste Teilchenzahl hat, wo das Quantum nicht?
Und können wir in Bezug auf die Antwort auch sagen, dass die statistische Physik als statistische Analyse der Fluktuationen eines Quantenfelds angesehen werden kann?
Stellen Sie sich Stat Mech definitiv nicht als die Fluktuationen eines Quantenfeldes vor. Das ist nicht richtig. Quanten-"Fluktuationen" (sehr, sehr schlechter Ausdruck) existieren abseits der statistischen Physik. Über wo die 1 / N ! stammt, siehe diesen anderen Beitrag .

Antworten (1)

Okay, das ist eigentlich ziemlich einfach, aber ich weiß nicht, wo ich anfangen soll.

Review: Was ist eine Partitionsfunktion?

Lassen Sie uns einen Schritt zurücktreten und ableiten, wovon wir sprechen: Was ist eine Partitionsfunktion? Wir haben also ein System, das eine Reihe von Energieniveaus mit Entartungen annimmt { ( E ich , G ich ) } .

Wir kennen Ihr System S steht in Kontakt mit einem Reservoir R , aber zusammen sind sie in einem mikrokanonischen Ensemble mit versiegelt S = S S + S R , U = U S + U R . Nun, dieses Reservoir ist groß und kompliziert, so dass sich seine internen Freiheitsgrade gegenüber den (zu ihm) kleinen Änderungen ändern U R kann linearisiert werden als S R ( U − U S ) = S R ( U ) − U S / T , Wo T ist seine (effektiv konstante) thermodynamische Temperatur T − 1 = ( ∂ S R ∂ U R ) N R ,   v R . Daher ist die Gesamtentropie des Reservoirsystems im Zustand ich Ist S R ( ich ) = S 0 − E ich / T für einige S 0 . Aber wir wissen, dass die Definition von Entropie ist S = k B ln ⁡ W Wo W ist eine Multiplizität des Zustands, also ist die Gesamtmultiplizität des Zustands, wenn man die Entartung mitzählt, einfach:

W ich = G ich   W R ( ich ) = G ich   e S 0 / k B − E ich / ( k B T )
und die Wahrscheinlichkeit ist daher
P ich = W ich ∑ k W k = G ich   e − E ich / ( k B T ) Z
für einige konstant Z unabhängig vom Landesindex ich , beides integrierend ∑ k W k Und e S 0 / k B . Da sich die Wahrscheinlichkeiten zu 1 summieren, können wir Folgendes sagen:
Z = ∑ ich G ich   exp ⁡ ( − E ich k B T ) .
Wenn das System kontinuierlich ist, brauchen wir eine Zustandsdichte G ( E ) so dass die Anzahl der Zustände mit Energien dazwischen E Und E + D E ist ungefähr G ( E )   D E , dann wandeln wir obiges in ein Integral um.

Von Partikeln zu komplexen Systemen

Okay, jetzt, wo wir beide auf derselben Seite darüber sind, was es ist , was passiert, wenn Ihr System eine Reihe von Teilen hat ? Dann jeweils ich beschriftet jetzt eine Konfiguration der Teile . Es wird möglicherweise kompliziert! Die erste einfache Sache ist, die Entartungen loszuwerden G ich und speichern stattdessen alle ihre Energien in einem Multiset : Dies ist ein Set, das dieselbe Anzahl mehrmals enthalten kann. Das könnte verwirrend sein, also gehen wir formal anders vor.

Lassen Sie uns jetzt über ein Set sprechen C = { C ich } bei dem die C ich ist ein mathematisches Objekt, das mir die Konfiguration des Zustands mitteilt ich , und wir gehen davon aus, dass dies für jeden anders ist ich , und jetzt müssen wir von einer Reihe von wechseln E ich zu einer Funktion E ( C ich ) was die Energie einer Konfiguration der Teile angibt. Jetzt als Nebenwirkung G ich = 1 für jede ich da jede Konfiguration unabhängig behandelt wird, aber das gleiche Ergebnis gilt:

Z = ∑ ich exp ⁡ ( − E ( C ich ) k B T ) .

Nicht interagierende Systeme

Wenn Sie so weit bei mir sind, ist es nur noch ein Schritt! Was ist die Form von C ich Und E ( C ) ?

Gut für ein System von N identische nicht wechselwirkende Teilchen haben wir die Einzelteilchenenergien E ich von vorher, und die Gesamtenergie ist die Summe der Energien, für die die Zustände besetzt sind. Das heißt, die ideale Form für C ich wird zur Besetzungsfunktion , C ich = { N ich , k } was uns sagt, in der Konfiguration ich , wie viele Teilchen sich im Energiezustand befinden E k . Dann ist die Energie des Zustands:

E ( C ich ) = ∑ k N ich , k   E k ,
somit,
Z = ∑ ich exp ⁡ ( − ∑ k N ich , k   E k k B T )
Daher kommt die Summe oben: Wir haben jetzt einen komplizierten Mehrteilchenzustand , aber solange die Teilchen selbst nicht interagieren , können wir die Summe der Einzelteilchenenergien verwenden , um die Gesamtenergie zu erhalten.

Danke für die Antwort. Die Summe oben ergibt sich also aus der Tatsache, dass wir die Entartungen auf 1 gesetzt und die Energiefunktionen von c gemacht haben, als bei nicht wechselwirkenden Teilchen die Besetzungszahl wird N R ?
Und das tun wir, weil wir jetzt den Zustand und nicht das Teilchen untersuchen wollen – wir analysieren das System, indem wir Zustände und nicht ein Teilchen betrachten.
@ConstantineBlack Dass die Entartungen 1 sind, spielt keine so große Rolle, es ist nur eine Folge der "offensichtlichen" Art, das System zu behandeln. Die Summe oben ergibt sich tatsächlich aus der Tatsache, dass der Zustand jetzt aus nicht wechselwirkenden Teilchen besteht: Die Energie eines Zustands mehrerer nicht wechselwirkender Teilchen ist eine Summe von Einzelteilchenenergien.
Unterschied in der Zustandssumme von klassischem und quantenidealem Gas
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