Großkanonische Zustandssumme hypothetischer Teilchen

Question

Großkanonische Zustandssumme hypothetischer Teilchen

Physik
Fermionen
Quantenmechanik
Chemisches Potential
Partitionsfunktion
Statistische Mechanik

Sylorinnis

Ich soll die großkanonische Zustandssumme eines Systems hypothetischer Teilchen berechnen, wobei jeder Einteilchen-Quantenzustand von bis zu 3 Teilchen besetzt sein kann.

Offensichtlich ist dies eine Art Witz, der sich auf Fermionen (mit maximal 2 Teilchen pro Zustand) und Bosonen (unbegrenzte Teilchen pro Zustand) bezieht. Es wird angenommen, dass diese hypothetischen Teilchen nicht miteinander wechselwirken.

Also habe ich versucht, jeden Einzelteilchen-Quantenzustand als separates Grand-Canonical-Ensemble zu betrachten, indem ich dem Ansatz auf https://en.wikipedia.org/wiki/Fermi%E2%80%93Dirac_statistics folgte

Bei chemischem Potential $\mu$ und Temperatur $T$ , wo die Energie des Staates ist $\epsilon$ , Ich bekomme:

Z = \sum_{N = 0}^{3} \exp (\frac{N (μ - ϵ)}{k_{B} T}) = \frac{1 - \exp (4 \frac{μ - ϵ}{k_{B} T})}{1 - \exp (\frac{μ - ϵ}{k_{B} T})}

$\begin{equation} \mathcal{Z} = \sum_{n=0}^{3}{\exp{\left(\frac{n(\mu-\epsilon)}{k_B T}\right)} = \frac{1-\exp{\left(4\frac{\mu-\epsilon}{k_B T}\right)}}{1-\exp{\left(\frac{\mu-\epsilon}{k_B T}\right)}}} \end{equation}$ wobei ich die endliche geometrische Folge verwendet habe.

Jetzt muss ich auch noch die durchschnittliche Besetzungszahl ermitteln $\langle n_i \rangle$ für einen Zustand mit Energie $\epsilon_i$ bei Temperatur $T=0$ .

Im Allgemeinen haben wir

⟨ N_{ich} ⟩ = k_{B} T \frac{\partial \ln Z}{\partial μ}

$\begin{equation} \langle n_i \rangle = k_B T \frac{\partial \ln{\mathcal{Z}}}{\partial \mu} \end{equation}$

was mich ergibt $\langle n_i \rangle =2-\frac{1}{1+\exp(x)}+\tanh(x)$ wo ich definiert habe $x=\frac{\mu-\epsilon_i}{k_B T}$ . (Ich habe Wolfram Mathematica zur Vereinfachung der Algebra verwendet.)

Ganz klar bei $T=0$ dieser Ausdruck ist schlecht definiert, aber durch das Nehmen der Grenze $T\rightarrow 0$ wir sehen das $\langle n_i\rangle=0$ Wenn $\epsilon_i>\mu$ , $\langle n_i\rangle=3/2$ Wenn $\epsilon_i=\mu$ Und $\langle n_i\rangle=3$ Wenn $\epsilon_i<\mu$ , richtig?

Knzhou

Das Endergebnis klingt für mich gut; Sie würden keine Partikel haben, wenn die "Kosten", um eines zu haben, unendlich sind.

Alexej Drogist

@Sylorinnis, wenn du schreibst

ϵ_{i}

$\epsilon_i$ , nehmen Sie für das System mindestens zwei Zustände an, müssen also nicht differenzieren

Z_{i}

$\mathcal{Z}_i$ , sondern die Gesamtsummenfunktion, die das Produkt von ist

Z_{i}

$\mathcal{Z}_i$ :

Z = \prod Z_{i}

$\mathcal{Z}=\prod \mathcal{Z}_i$

Sylorinnis

@AlekseyDruggist Ich möchte die durchschnittliche Anzahl von Teilchen im Zustand mit Energie berechnen

ϵ_{i}

$\epsilon_i$ , dieser Zustand ist ein eigenständiges Grand Canonical Ensemble, also kann ich einfach seine eigene Partitionsfunktion differenzieren, richtig? Dies ist auch der Ansatz, der auf en.wikipedia.org/wiki/… verfolgt wird.

Alexej Drogist

@Sylorinnis, du hast Recht, ich meinte die mittlere Gesamtzahl der Partikel im System

< N >

$<N>$

Roger Wadim

Wenn die Partikel nicht interagieren, scheint dies ein bisschen übertrieben zu sein - z. B. warum "endliche geometrische Progression" verwenden, um vier Terme zu summieren? Und Wolfram für einfache Differenzierungen zu verwenden (anstatt dies zu tun, ist eine gute Möglichkeit, einfache Ergebnisse zu erhalten ausgedrückt durch nicht so transparente Ausdrücke (hier eindeutig der Fall).

Antworten (1)

Großkanonische Zustandssumme hypothetischer Teilchen

Das Endergebnis klingt für mich gut; Sie würden keine Partikel haben, wenn die "Kosten", um eines zu haben, unendlich sind.
@Sylorinnis, wenn du schreibst $\epsilon_i$ , nehmen Sie für das System mindestens zwei Zustände an, müssen also nicht differenzieren $\mathcal{Z}_i$ , sondern die Gesamtsummenfunktion, die das Produkt von ist $\mathcal{Z}_i$ : $\mathcal{Z}=\prod \mathcal{Z}_i$
@AlekseyDruggist Ich möchte die durchschnittliche Anzahl von Teilchen im Zustand mit Energie berechnen $\epsilon_i$ , dieser Zustand ist ein eigenständiges Grand Canonical Ensemble, also kann ich einfach seine eigene Partitionsfunktion differenzieren, richtig? Dies ist auch der Ansatz, der auf en.wikipedia.org/wiki/… verfolgt wird.
@Sylorinnis, du hast Recht, ich meinte die mittlere Gesamtzahl der Partikel im System $<N>$
Wenn die Partikel nicht interagieren, scheint dies ein bisschen übertrieben zu sein - z. B. warum "endliche geometrische Progression" verwenden, um vier Terme zu summieren? Und Wolfram für einfache Differenzierungen zu verwenden (anstatt dies zu tun, ist eine gute Möglichkeit, einfache Ergebnisse zu erhalten ausgedrückt durch nicht so transparente Ausdrücke (hier eindeutig der Fall).

Gec · Answer 1

Deine Formeln scheinen mir richtig zu sein. Aber rechtfertigen kann man das wirklich nicht $\mu <\epsilon$ Bedingung in diesem Fall. Meiner Meinung nach $\mu$ kann jeden beliebigen Wert annehmen $-\infty$ Zu $+\infty$ bei diesem Problem. Bei fester Temperatur $T>0$ das folgt aus deiner formel $\left<n\right> = 0$ bei $\mu = -\infty$ Und $\left<n\right> = 3$ bei $\mu = +\infty$ . Das sind richtige Grenzfälle. Bei $T = 0$ wir haben auch $\left<n\right> = 3$ Wenn $\mu > \epsilon$ Und $\left<n\right> = \frac{3}{2}$ Wenn $\mu = \epsilon$ .

Der $\mu < \epsilon$ Bedingung ist ein Muss nur für ein ideales Bose-Gas.

Danke, ich habe den Beitrag mit diesen Überlegungen aktualisiert und bin mir ziemlich sicher, dass ich es jetzt gelöst habe.

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Sylorinnis

Knzhou

Alexej Drogist

Sylorinnis

Alexej Drogist

Roger Wadim

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Gec

Sylorinnis

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