Einstein-Modell zur Wärmekapazität von Festkörpern und Ununterscheidbarkeit der Oszillatoren

Albert Einsteins Theorie der Wärmekapazität eines Festkörpers geht davon aus, dass ein Kristall aus Oszillatoren besteht, die natürlich in alle drei Richtungen schwingen. Somit haben wir für N Atome des Kristalls 3N Oszillatoren und jeder wird beschrieben durch: R ¨ = − ω E 2 R , Wo R ist die Verschiebung und ω E ist die Frequenz der Schwingung.

Einstein argumentiert, dass die Energieniveaus jedes einzelnen Oszillators gemäß der Quantenmechanik gegeben sind, diskret sind und sind: ϵ R = ℏ ω E ( R + 1 / 2 ) , mit r=0,1,2...

Damit ist die Zustandssumme z 1 = ∑ R e − β ϵ R = e − β ℏ ω E 2 1 − e − β ℏ ω E , Wo β = 1 / k T

Von hier aus finden wir die durchschnittliche Energie und die Wärmekapazität.

Frage: Die obige Analyse scheint die Oszillatoren als unterscheidbar zu behandeln. Aber sind sie nicht ununterscheidbar? Ich habe zwei Meinungen gelesen:

1) Dass das Gibbs-Paradoxon durch Division mit N! gelöst werden kann. Wenn also die Oszillatoren nicht unterscheidbar sind, sollten wir die Zustandssumme nicht durch (3N) teilen! ?

2) Ich habe auch gelesen (aus Post hier und Papieren), dass die Aufteilung der Zustandssumme nicht auf die Tatsache zurückzuführen ist, dass die Teilchen quantenmechanisch identisch sein sollten, sondern auf unsere Definition der Entropie in der Thermodynamik (und dass das Gibbs-Paradoxon kann so gelöst werden).

Daher möchte ich fragen, warum wir im Einstein-Modell nicht mit der Fakultät dividieren und warum das Einstein-Modell ohne Division gute Ergebnisse liefert.

Danke schön.

Hinweis: Das Buch, aus dem ich gelesen habe, ist von Mandle. Auch wenn es Modelle wie das Einstein-Modell gibt, die die Oszillatoren als identisch betrachten, können Sie eine Referenz angeben. Natürlich ist jede Referenz für das Studium willkommen.

Etwas unabhängiger Kommentar: Das Einstein-Modell funktioniert bei niedrigen Temperaturen nicht wirklich gut. Ein verbessertes (und etwas physikalischeres) Modell finden Sie im Debye-Modell.
@lnmaurer Guten Morgen (von meiner Seite) und danke für den Kommentar. Ich kenne das Debye-Modell und studiere derzeit ein wenig. Ich habe mich gefragt, wie das Einstein-Modell gute Ergebnisse liefert und ob es mit der Entropie der Thermodynamik harmoniert.

Antworten (1)

Frage: Die obige Analyse scheint die Oszillatoren als unterscheidbar zu behandeln. Aber sind sie nicht ununterscheidbar?

In Einsteins Modell sollen die Oszillatoren an einem bestimmten Ort im Raum sitzen (umherschwingen). Man könnte also sagen, sie sind unterscheidbar. Zum Beispiel durch ihre kartesischen Koordinaten in Bezug auf den Laborrahmen.

1) Dass das Gibbs-Paradoxon durch Division mit N! gelöst werden kann.

Leider ist der Begriff „Gibbs-Paradoxon“ sehr vage und die Leute verwenden diesen Begriff in unterschiedlichen Bedeutungen. Was meinst du damit?

Ich möchte fragen, warum teilen wir nicht im Einstein-Modell mit der Fakultät,

Das Einstein-Modell behandelt die Oszillatoren als unabhängige Systeme und beschreibt sie durch ein kanonisches Ensemble – oder effektiver mit der Boltzmann-Wahrscheinlichkeitsverteilung. In diesem Zusammenhang ist die Partitionsfunktion für ein System von N Oszillator ist definiert durch

Z = ∑ R e − β ϵ R
wobei die Summe über alle Zustände geht R des gesamten Systems, so dass die Boltzmann-Wahrscheinlichkeit einfach ausgedrückt werden kann als
P R = e − β ϵ R Z .

Es gibt keinen Grund für eine Definition Z mit obiger Summe dividiert durch N ! - Wenn wir das täten, müssten wir die Wahrscheinlichkeit für Zustand schreiben R als

P R = e − β ϵ R N ! Z
was umständlich ist und keinen nützlichen Zweck erfüllt.

und warum das Einstein-Modell ohne die Division funktioniert und gute Ergebnisse liefert.

Einstein war ein kluger Kerl und hatte das Glück, eine Berechnung zu erfinden, die ähnliche Ergebnisse wie Messungen liefert.

Hallo und danke für die Antwort. Darf ich fragen: Steht die Entropie aus dem Einstein-Modell im Einklang mit der thermodynamischen Entropie? Deshalb habe ich auf das Gibbs-Paradoxon verwiesen und nach der Division mit der Fakultät gefragt. Müssen wir nicht durch N dividieren! um diese Symphonie zu bekommen? Ich habe hier eine ähnliche Frage: physical.stackexchange.com/questions/189273/… , über die Fakultät. Danke.
Hinweis: Ich habe diese Beiträge gelesen: physical.stackexchange.com/questions/184947/… , physical.stackexchange.com/questions/102755/… , und einige davon: arxiv.org/abs/1012.4111 , bayes.wustl.edu /etj/articles/gibbs.paradox.pdf .Also @JanLalinsky, warum dividieren wir nicht mit der Fakultät, oder anders ausgedrückt: Müssen wir dividieren, um mit der Thermodynamik in Symphonie zu sein? Danke schön.
Und stimmt das auch ungefähr, dass die Oszillatoren nicht zu unterscheiden sind? Wenn ja, ist dies eine Eigenschaft von Festkörpern im Allgemeinen, sodass wir diese Annahme treffen können? Gibt es Modelle, bei denen so etwas nicht hält? Danke nochmal.
Ich denke, die meisten Modelle von Festkörpern gehen davon aus, dass die Atome unterscheidbar sind. Es mag Modelle geben, bei denen dies nicht gilt, aber ich kenne keine.
Einstein-Modell zur Wärmekapazität von Festkörpern und Ununterscheidbarkeit der Oszillatoren
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