Gilt das Bohr-van-Leeuwen-Theorem auch für Ferromagnetismus?

Eine schnelle Google-Suche führt einen sofort zu der Wikipedia-Seite zu diesem speziellen Theorem. Im ersten Absatz dieser Seite heißt es:

Das Bohr-van-Leeuwen-Theorem ist ein Theorem auf dem Gebiet der statistischen Mechanik. Das Theorem besagt, dass bei konsequenter Anwendung der statistischen Mechanik und der klassischen Mechanik der thermische Mittelwert der Magnetisierung immer Null ist. Dies macht Magnetismus in Festkörpern ausschließlich zu einem quantenmechanischen Effekt und bedeutet, dass die klassische Physik Diamagnetismus, Paramagnetismus oder Ferromagnetismus nicht erklären kann.

Der Satz gilt für jede Form von Magnetismus. Wenn man dieselbe Wikipedia-Seite weiter liest, die sowohl einen intuitiven als auch einen formaleren Beweis liefert, sieht man, dass das Argument formal darauf hinausläuft, dass der thermische Durchschnitt des magnetischen Moments gezeigt wird$\mu$ist null:

$$\langle \mu \rangle=0$$

Dies geschieht ohne Annahmen über den Ursprung des magnetischen Moments$\mu$. Ich werde nun einen weiteren Beweis wiedergeben, der in mehreren Lehrbüchern zu finden ist.

Betrachten Sie eine$N$-Teilchensystem mit nur Teilchen mit Ladung$e$und Masse$m$(Der Beweis lässt sich leicht verallgemeinern). Wir definieren den (thermischen Mittelwert der) Magnetisierung als

$$\langle \mu \rangle=\left\langle -\frac{\partial F}{\partial B}\right\rangle$$ Wo $F=-T\ln Z$ist die freie Energie, und $Z$ist die Partitionsfunktion. Die klassische Zustandssumme ist $$Z=\int d\vec{p}_1\dots d\vec{p}_N\int d\vec{r}_1 \dots d\vec{r}_N\ e^{-\beta H}$$ Wo $H$ist der klassische Hamiltonian. In Gegenwart eines Magnetfelds haben wir $$H=\frac{1}{2m}\sum_{i=1}^{N}\biggl(\vec{p}_i-\frac{e}{c}\vec{A}_i\biggr)^2+eV(\vec{r}_1,\dots\vec{r}_N)$$ Durch die Substitution $\vec{p}_i\to \vec{p}_i-\frac{e}{c}\vec{A}_i$bei jedem Integral über die Impulse können wir die Abhängigkeit vollständig eliminieren $Z$An $\vec{A}_i$und damit auf das Magnetfeld $\vec{B}=\vec{\nabla}\times\vec{A}$. Deshalb, $F$hängt nicht davon ab $B$entweder und $$\langle \mu \rangle= \left\langle -\frac{\partial F}{\partial B}\right\rangle=0$$

Zusammenfassend zeigt das Bohr-van-Leeuwen-Theorem, dass Magnetismus unabhängig vom Ursprung der Magnetisierung nicht klassisch erklärt werden kann. Wenn man ein Magnetfeld anlegt und einem Festkörper ermöglicht, ein thermisches Gleichgewicht zu erreichen, kann es (klassischerweise) keine Nettomagnetisierung geben. Insbesondere schließt es auch den klassischen Ferromagnetismus aus.

Ich hoffe, dass die Zweifel an der Änderung der Integrationsvariablen, die das Vektorpotential eliminiert, ausgeräumt sind. Der entscheidende Punkt ist, dass für jede Koordinate${\bf x}_i$, eine Änderung der Impulsvariable${\bf p^{\prime}}_i= {\bf p}_i -{\bf A({\bf x}_i)}$lässt den Vektorpotentialterm aufgrund der unbegrenzten Integrationsgrenzen für Impulse verschwinden.

Die jüngste Prämie zu dieser Frage lenkt jedoch die Aufmerksamkeit auf eine gewisse Unvollständigkeit der bestehenden Antwort in Bezug auf die ursprüngliche Frage.

Bis zum formalen Beweis der Konsequenzen des BvL-Theorems ist alles in Ordnung. Wo die Antwort nicht zufriedenstellend ist, ist, wenn die Konsequenzen des Theorems auf jede Form von Magnetismus ausgedehnt werden. Insbesondere zum Ferromagnetismus (der Gegenstand der ursprünglichen Frage war).

Es ist wahr und es bleibt wahr, dass der echte Ferromagnetismus nicht allein mit der klassischen Mechanik, dem Elektromagnetismus und der klassischen statistischen Mechanik in sich widerspruchsfrei erklärt werden kann. Aber der Grund hat nichts mit dem BvL-Theorem zu tun.

Um diesen Punkt zu verstehen, ist es notwendig, sich an die moderne (quantenmechanische) Erklärung des Ferromagnetismus zu erinnern . Es basiert auf zwei Hauptbestandteilen:

1. Elektrostatische Interaktion;
2. Antisymmetrie der elektronischen Wellenfunktion (dh Pauli-Prinzip).

Daher ist klar, dass Inhaltsstoff n.$2$fehlt in jeder rein klassischen Erklärung, dementsprechend mit dem Schluss, dass es in einer rein klassischen Welt unmöglich wäre, eine konsistente Erklärung des Ferromagnetismus zu liefern.

Es ist auch klar, dass, da der Ursprung des magnetischen Impulses des elektronischen Spins nicht die Umlaufbewegung ist und sein Ursprung dann nichts mit einem Hamilton-Operator eines spinlosen Punktteilchens wie dem in Danus Antwort zu tun hat, das BvL-Theorem nicht sagt alles über Ferromagnetismus .

Ein letztes Wort der Vorsicht ist angebracht. Das Ergebnis einer sorgfältigen Analyse des Ursprungs magnetischer Effekte in kondensierter Materie erfordert die Quantenmechanik als Schlüsselbestandteil, um eine konsistente Erklärung des Ursprungs und Verhaltens magnetischer Effekte zu liefern. Wie so oft in der Physik könnte man jedoch daran interessiert sein, das Verhalten magnetischer Systeme zu modellieren, ohne gleichzeitig den Ursprung des Magnetismus beschreiben zu wollen. Und tatsächlich kann die klassische statistische Mechanik routinemäßig angewendet werden, um para-/ferromagnetische Übergänge auf der Basis der rein klassischen statistischen Mechanik zu beschreiben (man denke zum Beispiel an den Prototyp aller magnetischen Modelle, das Ising-Modell).