Warum sind Phononen Bosonen, wenn sie nicht denselben Eigenzustand einnehmen können?

Bei der Frage "Was ist ein Quantenteilchen - ein Phonon, ein Photon, ein Elektron, ein Higgs?" gefragt wird, dann sollte die Antwort lauten

--- und hier ersetze ich der Konkretheit halber das Wort "Quantenteilchen" durch Phonon ---

Ein Phonon ist die erste und niedrigste (über dem Grundzustand) Anregung des Quantenfeldes – hier des Kristallgitters.

2 Phononen sind die zweite Anregung des Kristallgitters.

$n$Phononen sind die$n^{\text{th}}$Anregung des Kristallgitters.

Was bedeutet das? Ohne Phononen gibt es keine Erregung, wir befinden uns also im Grundzustand. Tatsächlich enthält das Kristallgitter nicht nur eine Art von Oszillatoren, es enthält eine Vielzahl verschiedener Oszillatoren, die angeregt oder nicht angeregt werden können. Wir geben jedem Oszillator einen "Index" namens "$k$". Berücksichtigt man also, dass es viele verschiedene Oszillatoren gibt, ist die Gesamtenergie dieser Oszillatoren (im Grundzustand) gleich$\sum_k \frac{\hbar \omega_k}{2}$(Der Grundzustand hat eine Energie ungleich Null, ein typisches Quantenphänomen.)

Aber wenn wir bereits eine Nicht-Null-Erregung des Gitters in einem Oszillator haben, sagen wir mal$l$, dann ist die Gesamtenergie des Systems:

Nehmen wir an, wir haben eine zweite Anregung im Gitter, und zwar eine, die im selben Oszillator stattfindet$l$als erstes erhalten wir als Gesamtenergie:

und wenn wir haben$n$Anregungen im selben Oszillator$l$dann wäre die Gesamtenergie:

Beachten Sie, dass alle bisherigen Erregungen im selben Oszillator stattfinden$l$, sie sind alle im selben Zustand, den wir ordentlich nennen können$l$.

Aber tatsächlich kann die Erregung in jedem der vielen Oszillatoren stattfinden. In diesem Fall haben wir 1 Erregung im Oszillator$l$und ein weiterer im Oszillator$m$dann wäre die Gesamtenergie:

Andererseits, wenn wir nur einen Oszillator betrachten$k$und nur seine Erregungen betrachten, können wir die allgemeine Formel für die Energie auf die im Beitrag zitierte reduzieren (der Allgemeinheit wegen betrachten wir$n$Erregungen, wo$n$kann Null (Grundzustand, keine Phononen), 1 (ein Phonon) oder sogar 2, 3, 4, ... Phononen sein:

Die Grundzustandsenergie der anderen Oszillatoren vergessen wir, weil sie in dieser speziellen Betrachtung keine Rolle spielen (und das Energieniveau immer an unsere Bedürfnisse angepasst werden kann (man denke an die Definition der potentiellen Energie im Gravitationsfeld)) .

Also um es nochmal zusammenzufassen:

$k$Indiziert oder unterscheidet die verschiedenen Zustände innerhalb des Kristalls, wohingegen$n$nummeriert das Erregungsniveau. Denken Sie daran, dass die Anregungen quantisiert sind. Jedes Mal, wenn die Anregung um 1 Quant (dh 1 Phonon) erhöht wird, erhöht sich die Energie um$\hbar\omega_x$.$x$gibt hier den Oszillator an, in dem die Erregung stattfindet, wobei es sich um einen der vielen verschiedenen Oszillatoren handeln könnte. Eine Erhöhung des Anregungsniveaus bedeutet eine Erhöhung der Zahl der Phononen. Die Erhöhung der (Bosonen-)Anregung kann im selben Oszillator oder in verschiedenen Oszillatoren erfolgen.

Warum nimmt jedes Phonon einen Eigenzustand mit einem anderen ein?$n$Nummer?

Nein, es ist nicht jedes Phonon , das diesen Eigenzustand einnimmt. Es ist$n$Phononen des gleichen Modus mit der Frequenz$\omega$die diesen Zustand einnehmen. Es ist ein einziger Staat mit$n$Phononen. Fügen Sie ein weiteres Phonon hinzu, und Sie erhöhen sich$n$von$1$. Entferne ein Phonon, und du nimmst ab$n$von$1$. Der$n$Variable zählt die Phononen.

Die beschriebenen Eigenzustände sind die sogenannten Zahlenzustände – also die Zustände mit einer bestimmten Anzahl von Phononen. Es kann Überlagerungen von ihnen geben, wie z$(|n=3\rangle+|n=4\rangle)/\sqrt2$, sodass Sie Zustände mit einer unbestimmten Anzahl von Phononen erhalten können. Ein nützliches Beispiel für einen solchen Nicht-Zahlen-Zustand ist der kohärente Zustand .

Beachten Sie auch, dass diese ganze Diskussion nur einen einzigen Modus des Phononenfeldes berührt. Realistischere Situationen, wie zB Wellenpakete, werden durch Zustände beschrieben, in denen mehrere Moden angeregt werden. Aber jeder dieser Modi verhält sich immer noch so, wie es Ihr Lehrbuch beschreibt.

Die Phononen im gleichen Modus besetzen den gleichen Eigenzustand, wohingegen$n$Zahl bezieht sich auf die Sammlung von Phononen, dh ihre Gesamtenergie. Das heißt, für jeden$n$(nicht wechselwirkende) Bosonen, die den gleichen Energiezustand einnehmen$E_0$, wird ihre Gesamtenergie sein$nE_0$.

Da steht nichts, was besagt, dass jedes Phonon (ein Boson) einen Eigenzustand mit Differenz einnehmen muss$n$.

Sie können eine beliebige Anzahl identischer Anregungen erzeugen, indem Sie den Leiteroperator kontinuierlich anwenden. Was oben geschrieben steht, besagt einfach, dass das System eine Energie hat, die von gegeben wird$E_n=\hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right)$wo jeder Modus mit Frequenz$\omega$hat$n$Phononen.