Phonon als Fourier-Transformation

Im Folgenden werde ich die 1D-Atomkette als kanonische Illustration verwenden (3D-Verallgemeinerung ist für die Diskussion unwesentlich).

1. Warum haben Phononen die harmonischen Oszillatorenergien?$E=\hbar\omega(n+1/2)$?

Atome in einem Kristall interagieren über ein bestimmtes Bindungspotential miteinander$U(x)$die ein Minimum aufweist. Ein solches Minimum legt die Position jedes Atoms bei einer Temperatur von Null fest, so dass es ein Gitter bildet, in dem die Atome durch einen gleichen Abstand voneinander beabstandet sind$a$. Wenn Sie sich für die niedrigen Energieeigenschaften eines solchen Systems interessieren, bietet jedes einzelne Potenzial$U$kann um sein Minimum quadratisch entwickelt werden:

$$U(x)\sim \frac{\kappa}{2}x^2,\quad\text{with}\;\kappa>0$$ Lassen $\{x_j(t),\dot{x}_j(t)\}$seien die Position und die Geschwindigkeit der $j$tes Atom. Dann der Niederenergie-Lagrangian, der das System von beschreibt $N$Atome, die mit ihren nächsten Nachbarn interagieren, lautet: $$L=\sum_{j=1}^N \frac{m}{2}\dot{x}_j^2-\frac{\kappa}{2}(x_{j+1}-(x_j+a))^2$$ Definieren $\phi_j$als die atomare Verschiebung weg von der Gleichgewichtsposition, so dass $x_j(t)=\phi_j(t)+ja$, der Lagrangian lautet jetzt : $$L=\sum_{j=1}^N \frac{m}{2}\dot{\phi}_j^2-\frac{\kappa}{2}(\phi_{j+1}-\phi_j)^2$$ In der Kontinuumsgrenze wo $|\phi_{j+1}-\phi_j|\ll a$, ist es angebracht, ein atomares klassisches Feld zu definieren $\phi(x,t)$so dass : $$L=\int_0^L\mathrm{d}x\;\mathcal{L}(\phi,\partial_x\phi,\dot{\phi})=\int_0^L\mathrm{d}x\;\frac{m}{2}\dot{\phi}^2-\frac{\kappa a^2}{2}(\partial_x\phi)^2$$ Wo $L=Na$ist die Länge der Kette und $\mathcal{L}$die lagrangianische Dichte. An dieser Stelle ist es vielleicht interessant anzumerken, dass die Langrange-Bewegungsgleichung $\partial_\phi\mathcal{L}-\partial_x(\partial_{\partial_x\phi}\mathcal{L})-\partial_t(\partial_{\dot{\phi}}\mathcal{L})=0$gibt dir eine Wellengleichung: $$(m\partial_t^2-\kappa a^2\partial_x^2)\phi(x,t)=0$$ was bedeutet, dass wir wissen, dass die Lösung der Bewegungsgleichung der 1D-Atomkette Schallwellen sind , dh klassische kollektive Anregungen der Atombewegung mit der Dispersionsrelation $\omega_k=\sqrt{\frac{a^2\kappa}{m}}k$.

Durch Lengendre-Transformation können wir analog zur klassischen Punktmechanik den zugehörigen Hamiltonoperator berechnen$H$:

$$H=\int_0^L\mathrm{d}x\;\mathcal{H}(\phi,\partial_x\phi,\pi)=\int_0^L\mathrm{d}x\;\frac{\pi^2}{2m}-\frac{\kappa a^2}{2}(\partial_x\phi)^2$$ Wo $\pi=\partial\mathcal{L}/{\partial\dot{\phi}}$ist der kanonische Impuls, der mit verbunden ist $\phi$, Und $\mathcal{H}$ist die Hamiltonsche Dichte.

Von nun an wurde die gesamte Arbeit im Rahmen der klassischen Mechanik durchgeführt. In die Quantenversion der 1D-Atomkette zu gelangen, kann durch ein Quantisierungsverfahren des klassischen Hamiltonian erfolgen$H$. Es besteht darin, die klassischen feldkonjugierten Koordinaten zu ersetzen$\{\phi(x),\pi(x')\}=\delta(x-x')$durch konjugierte Quantenkoordinaten, besagte nicht kommutierende Operatoren $\left[\hat{\phi}(x),\hat{\pi}(x')\right]=\mathrm{i}\hbar\,\delta(x-x')$.

Dann lautet die Hamiltonsche Dichte, die die Quanten-1D-Atomkette beschreibt:

$$\mathcal{H}=\frac{\hat{\pi}^2}{2m}-\frac{\kappa a^2}{2}(\partial_x\hat{\phi})^2$$ Wir sind fast fertig ; An dieser Stelle können wir die Berechnungen im Fourier-Raum für die Operatoren unter Verwendung der Notation übernehmen $\hat{A}=\frac{1}{\sqrt{L}}\sum_k \hat{A}_k e^{\mathrm{i}kx}$: $$\mathcal{H}=\sum_k \frac{1}{2m}\hat{\pi}_k\hat{\pi}_{-k}+\frac{m\omega_k^2}{2}\hat{\phi}_k\hat{\phi}_{-k}$$ Wo $\omega_k^2=\frac{a^2k^2\kappa}{m}$.

Die hamiltonsche Dichte ist fast identisch mit der üblichen harmonischen Quantenoszillator- Dichte. Deshalb kann man ohne Verlust der Allgemeinheit die zugehörigen Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren definieren$\hat{a}^\dagger_k$Und$\hat{a}_k$und finde das:

$$\mathcal{H}=\sum_k \hbar\omega_k\left(\hat{a}^\dagger_k\hat{a}_k+\frac{1}{2}\right)$$ Was wir hier erhalten, ist, dass der Hamiltonian einer Quanten-1D-Atomkette das System als eine Überlagerung unabhängiger harmonischer Oszillatoren beschreibt. Was wir Phonon nennen, ist die kollektive Quantenanregung , die das Niederenergieverhalten der 1D-Quantenkette erklärt (so wie Schallwellen die Niederenergiedynamik des klassischen Systems erklären). Das einzige, was ein Phonon als "Teilchen" identifiziert, ist seine Energie, oder besser gesagt sein Dispersionsverhältnis $\hbar\omega_k$. Bestimmen Sie, wie viel Energie im System vorhanden ist, und zählen Sie so, wie viele Phononenmoden zählen $\omega_k$werden durch die Zähloperatoren gefüllt $\hat{a}^\dagger_k\hat{a}_k$. Es ist wichtig zu beachten, dass Phononen keine wirkliche objektive Existenz haben, sie sind nur praktische Werkzeuge für uns, um zu verstehen, wie die Quanten-1D-Atomkette funktioniert.

2. Warum gelten die Boltzmann-Faktoren für Phononen, als wären sie Teilchen?

Die Boltzmann-Verteilung gilt nur für Phonon "bei hoher Temperatur". Da kann es beliebig viele geben$n_k$von Phononen, die einen Energiezustand bevölkern$\omega_k$, deutet dies darauf hin, dass Phononen eine bosonische Natur haben , so dass ihre Energieverteilung im thermischen Gleichgewicht tatsächlich eine Bose-Einstein-Verteilung ist $f_B(\omega_k)$. Das sieht man aber am Limit$\omega_k\ll k_BT$,$f_B(\omega_k)\sim\exp(-\hbar\omega_k/k_BT)$.

3. Kann die Behandlung selbst als eine Art Fourier-Transformation der Atombewegung konzipiert werden?

Wie zuvor gesehen, identifiziert sich der Hamiltonian der Quanten-1D-Kette als eine Überlagerung unabhängiger harmonischer Oszillatoren. Es ist hier sehr wichtig, die Bewegung einzelner Atome nicht zu verwechseln, die zwar oszillierend (aber an ihre Nachbarn durchgekoppelt) ist$U$) mit der kollektiven Bewegung der Atome, die bei diesen Moden auch oszillierend ist$\omega_k$sind nicht miteinander gekoppelt. Eigentlich seit dem Moment, als wir das Limit genommen haben$|\phi_{j+1}-\phi_j|\ll a$wir geben zu, dass die individuelle Bewegung jeder Bewegung nicht relevant war und es bequemer war, die atomare Bewegung als kollektives Feld zu verstehen$\phi$.