Mein Lehrbuch der Festkörperphysik (Kittel) besagt, dass die Quantisierung des Phononenwellenvektors aufgrund von Randbedingungen (periodisch oder harte Wand) für die Schwingungsmodi entsteht, und ich kann sehen, wie das der Fall ist. Es heißt jedoch auch, dass "dies nichts mit Quantenmechanik zu tun hat", und ich kann dies anscheinend nicht mit der Tatsache in Einklang bringen, dass die Energiequantisierung von Phononen von ihrer Äquivalenz zu harmonischen Quantenoszillatoren herrührt.
Einfach gesagt, mein Problem ist die Phononenenergie ist aufgrund der QM-Behandlung quantisiert;
sondern die Schwingungsfrequenz hängt mit dem Wellenvektor zusammen durch eine Dispersionsrelation , was für mich impliziert, dass die Quantisierung des Wellenvektors auf die Quantisierung der Energie zurückzuführen ist, die auf die QM-Behandlung der Oszillatoren zurückzuführen ist. Dies würde darauf hindeuten, dass die Quantisierung von hat was mit QM zu tun. Ist das nur eine Frage der Semantik oder übersehe ich etwas?
Ähnlich wie Vadim kommentierte, gilt diese Quantisierung aufgrund kompakter Regionen für jede Welle oder jedes Feld, klassisch oder Quanten. Ich glaube, was Kittel meint, ist, dass dies keine Quantisierung einer Quantenwellenfunktion ist (zB eine Lösung der Schrödinger-Gleichung), die den Zustand eines Systems bestimmt. Die Quantisierung des Wellenvektors ähnelt eher der Quantisierung von Normalmoden in den Saiten einer Gitarre.
Vielleicht wird dies am besten in der kürzlich erschienenen Review of Modern Physics https://arxiv.org/abs/1912.09321 veranschaulicht , genau über die Unterscheidung zwischen Modi (was meiner Meinung nach der Fall wäre) und Zuständen (was etwas "fälliges" wäre zur Quantenmechanik", im Gegensatz zu dem, was Kittel kommentiert).
In dieser Referenz, bereits in der Zusammenfassung, kommentieren sie
Wegen der Linearität der Maxwell-Gleichungen ist eine lineare Überlagerung zweier Moden eine weitere Mode. Dies bedeutet, dass neben dem regulären Quantenzustands-Überlagerungsprinzip ein „modales Überlagerungsprinzip“ existiert.
Genauer können Sie dann Abschnitt III BESCHREIBUNG DES QUANTEN-MULTIMODE-LICHTS , Unterabschnitt B Die zwei Seiten der Quantenoptik , lesen, wo sie erklären, was sie die „komplizierte duale Natur des Lichts“ nennen, indem sie Gleichung (37) verwenden.
Die Rede ist natürlich von Optik, Licht und elektromagnetischen Wellen. Dies alles sollte an den vorliegenden Fall von Schallwellen in Materie angepasst werden. Beachten Sie, dass sich der Name Phonon selbst auf die quantenmechanische Natur dieser Wellen bezieht, obwohl die Quantisierung der Modi selbst aufgrund der in Ihrem Buch genannten Randbedingungen eine andere Sache ist, wie Kittel vorschlägt.
Zusammenfassend können diese beiden Wellen (die Moden und der Quantenzustand) unabhängig voneinander "quantisiert" werden. Tatsächlich würde ich in diesem Fall eher über die Diskretisierung von Normalmoden sprechen als über ihre Quantisierung . Tatsächlich ist die Quantisierung ein Begriff, der besser auf den Vergleich zwischen den Wellen in Materie als klassische Wellen und den quantisierten Wellen in Materie, die als Phononen bekannt sind, beschränkt ist.
Betrachten Sie auch den (nicht physikalischen, aber für die Zwecke dieser Diskussion dennoch interessanten) Fall eines beliebigen Feldes, in dem man lebt . Es kann quantisiert werden, und die Quanten können so etwas wie das Phonon sein, obwohl die Normalmoden in diesem Fall nicht diskretisiert sind, da der Raum nicht begrenzt ist.
Roger Wadim