Problem mit der Ableitung von Phononen im Kristall

Phononenableitung

Bei dieser Ableitung von Phononenlösungen nehmen wir überall zwangsläufig die wellenförmigen Eigenschaften entlang der Länge der Kette an. Alles, was wir zum Ermitteln der Grundfrequenzen ableiten können, ist, dass die Lösung zeitlich periodisch sein wird und die Lösung die Form haben sollte exp ⁡ ( ich ω T ) , ich verstehe nicht, wie die Ableitungen direkt ankommen exp ⁡ ( ich k X − ich ω T ) . Das ist in Kittel.

In der Abbildung unten, Hier auch irgendwie, Q bewusst mit der Distanz verknüpft wurde. PS: N ist ein Maß für den Abstand entlang der Kette.

Ansatz? Der bessere Weg wäre wahrscheinlich, die allgemeinen Lösungen durch Diagonalisieren der Matrixform dieser Gleichungen abzuleiten.
Ja. Die Matrixform kann durch Substitution erreicht werden X N mit exp ⁡ ( ich w T ) . Das Problem ist, dass nur geben wird ω Lösungen. Mein Zweifel ist, wie sie die Periodizität entlang der Kettenlänge im Exponential annehmen konnten. Ich denke, alles, was wir vorhersagen können, ist, dass Eigenfrequenzen existieren und die Lösung zeitlich periodisch sein wird.
Ich stimme dem zu. Die Lösung, die in phänomenologischen Physikbüchern wie Kittel vorgestellt wird, ist keine vollständige Lösungstheorie dieser Gleichungen. Es beweist nicht, dass die Lösungen, die sie geben, alle existierenden Lösungen sind. Ich persönlich mochte das Kittel-Buch nie besonders ... wahrscheinlich, weil ich es wie eine Bibel lernen musste, anstatt es zu verstehen, um die Prüfung in dieser Klasse zu bestehen. Was die Lösungen betrifft ... natürlich gibt es nichtperiodische Lösungen für diese Gleichungen. Einige davon findet man durch lineare Überlagerung harmonischer Lösungen mit nichtrationalen Verhältnissen zwischen einzelnen Frequenzen.
Irrationale Verhältnisse sind interessant. Können Sie eine Quelle dafür zitieren, für eine detaillierte Lösung für dieses Problem und Probleme wie diese?
Ich habe kein Dokument, das ich über die vollständige Lösungstheorie dieser Gleichungen zitieren könnte ... Ich hoffe, dass einige der Theoretiker Ihnen dabei helfen können. Viel Glück!
Ihre Frage ist, wie Sie zu dieser Lösung kommen? Was ist falsch an rate-and-check? Es ist eine vernünftige Vermutung, dass die Lösungen wellenartig sein sollten, also ist das die Vermutung, und wenn man sie in die Bewegungsgleichungen einfügt, stellt sich die Vermutung als richtig heraus. Wir haben einen Satz linearer Differentialgleichungen, und es gibt wahrscheinlich einen Satz, der besagt, dass die Lösungen eindeutig sind (bis auf eine Konstante), also ist die Vermutung die Lösung.

Antworten (2)

Es ist nichts falsch daran, nach ebenen wellenähnlichen Lösungen der Form zu suchen A exp ⁡ ( ich ( ω T − k X ) ) . Angesichts der Linearität der Gleichungen und wie @ignacio darauf hinwies, dass die exp ⁡ ( ich k X N ) eine Basis von Lösungen bilden, können Sie eine allgemeinere Lösung als Kombination dieser ebenen Wellen schreiben. Diese Lösung ist nicht unbedingt periodisch (denken Sie beispielsweise an ein sich ausbreitendes Wellenpaket, das an einer bestimmten Position im Raum seinen Höhepunkt erreicht).

Für eine unendliche Kette mit periodischen Randbedingungen haben Sie N Übersetzungssymmetrie. Dies bedeutet, dass Sie nach einer Basis von Lösungen suchen können, deren N Abhängigkeit ist e ich k N . Die Randbedingungen zwingen Sie dazu k = M 2 π N mit M = 0 .. N − 1

Problem mit der Ableitung von Phononen im Kristall
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