Warum brauchen wir die Quantisierung für Gitterschwingungen?

Ich habe den Wikipedia-Artikel über Phonon gelesen. Meinem Verständnis nach erhalten sie also die diskreten Energieniveaus der Schwingung aus der Quantisierung. Aber das diskrete Energieniveau ist nicht nur die Eigenschaft des Quantensystems, sondern auch die Eigenschaft des klassischen harmonischen Oszillators.

Und wenn sie die Schwingung mit dem klassischen harmonischen Oszillatormodell beschreiben können, warum müssen sie dann die sogenannte zweite Quantisierung für Gitterschwingungen einführen?

Erhalten sie irgendetwas Neues, was wir mit dem klassischen harmonischen Oszillator nicht erreichen können?

Der Kommentar unten und die Antwort von @Vadim erwähnen, dass der klassische harmonische Oszillator ein kontinuierliches Energiespektrum hat. Ich füge eine Referenz des Wikipedia-Artikels hinzu, in der eine andere Idee angegeben ist:

Aus Wikipedia, Phonon-Artikel :

In dem Artikel werden die Verschiebungen von Atompositionen als modelliert

u N = ∑ N A k / 2 π = 1 N Q k exp ⁡ ( ich k N A )

und das Diskrete k Werte führt zu den diskreten Normalmoden.

Für die zweite Referenz verlinke ich den Artikel über harmonische Quantenoszillatoren :

Die Quantität k N wird sich als die Wellenzahl des Phonons herausstellen, dh 2 π geteilt durch die Wellenlänge. Sie nimmt quantisierte Werte an, weil die Anzahl der Atome endlich ist.

Ich habe das Zitat in dem Abschnitt direkt vor dem Auferlegen der Kommutierungsbeziehungen und damit vor der Quantisierung extrahiert.

Ihr Punkt scheint, dass die Atome in diskreten Positionen innerhalb der Materie endlicher Größe platziert sind und die Diskretion zu den diskreten Wellenlängenlösungen führt.

Sie schrieben: "Das diskrete Energieniveau ist nicht nur die Eigenschaft des Quantensystems, sondern auch die Eigenschaft des klassischen harmonischen Oszillators". Was meinst du? Der klassische harmonische Oszillator hat eine kontinuierliche Energie, keine diskreten Pegel.
@HicHaecHoc Ich beziehe mich auf den Wikipedia-Artikel, den ich verlinkt habe. Im klassischen Behandlungsteil leitet es die Normalmoden als Lösung mit einer diskreten Fourier-Transformation ab.
Nun, die Normalmodi sind ein Ensemble klassischer harmonischer Oszillatoren. In der Quantenbehandlung werden sie durch harmonische Quantenoszillatoren ersetzt. Kennen Sie die Unterschiede zwischen einem klassischen harmonischen Oszillator und einem Quantenoszillator? Es wäre nützlich zu wissen, wie man eine Antwort richtig ausrichtet.
@HicHaecHoc Ich glaube, ich weiß es. Der Quantenoszillator soll die Kommutatorbeziehung zwischen normaler Koordinate und konjugiertem Impuls auferlegen.
@HicHaecHoc Ich habe die Frage aktualisiert und mehr Verweise auf die Diskretion im klassischen harmonischen Oszillator im Gitter aufgenommen.

Antworten (1)

Der klassische Oszillator hat keine diskreten Pegel, seine Energie ist es

E = P 2 2 M + M ω 2 X 2 2 ,
die jeden Wert größer oder gleich Null annehmen kann . Bei einem Quantenoszillator dagegen nur die Energiewerte
E N = ℏ ω ( N + 1 2 )
Sind möglich.

Ob wir die klassische oder die Quantenbeschreibung für ein physikalisches System verwenden, ist nicht unsere Wahl – wir wählen vielmehr die Beschreibung, die der realen Welt besser entspricht. Die Quantenmechanik beschreibt die realen physikalischen Phänomene besser als die klassische, obwohl bei einigen Problemen Quanteneffekte vernachlässigt werden können und die klassische Beschreibung ausreicht. Im Falle von Phononen ist eine Quantenbeschreibung notwendig, zB um die Ausdrücke für spezifische Wärme zu erhalten , die mit Experimenten konsistent sind. Andererseits wird die Schallausbreitung in Festkörpern meist mit klassischer Elastizität beschrieben.

Schließlich, im Fall von Wellenphänomenen, wie elektromagnetische Wellen oder Phononen, der Formalismus, der als zweite Quantisierung bezeichnet wird , was tatsächlich erste Quantisierung ist !

Aktualisieren Sie
in der Referenz (später zur Frage hinzugefügt) die Wellennummern k N und die entsprechenden Frequenzen ω N = C P H k N beziehen sich auf verschiedene Oszillatoren. Mit anderen Worten, die Oszillationen sind nur mit diesen Frequenzen möglich, aber die Energie der Oszillationen bei einer bestimmten Frequenz kann immer noch beliebig sein (wenn die Oszillatoren klassisch sind). Während eine solche „Quantisierung“ aufgrund der Anzahl der Atome und der endlichen Größe eines Systems typisch für Wellenphänomene ist, handelt es sich nicht wirklich um einen Quanteneffekt , sondern lediglich um ein Modewort, das anstelle von Diskretion verwendet wird .

Man sollte jedoch beachten, dass sich mathematisch die Quantenquantisierung und die Diskretion des Spektrums auf die gleiche Weise ergeben, da in der Quantenbeschreibung Teilchen durch Wellen beschrieben werden, deren Spektren diskret werden können, wenn die Bewegung eingeschränkt ist.

Ich habe einige Referenzen hinzugefügt, die den klassischen harmonischen Oszillator mit diskreten Wellenlängenlösungen für Gitter erklären. (Sag Bescheid, wenn ich es falsch interpretiert habe.)
@Kevin In der Referenz geben Sie die Wellennummern an k N und die entsprechenden Frequenzen ω N = C P H k N beziehen sich auf verschiedene Oszillatoren. Mit anderen Worten, die Oszillationen sind nur mit dieser Frequenz möglich, aber die Energie der Oszillationen bei einer bestimmten Frequenz kann immer noch beliebig sein (wenn der Oszillator klassisch ist). Eine solche „Quantisierung“ aufgrund der Anzahl der Atome und der endlichen Größe eines Systems ist zwar typisch für Wellenphänomene, aber es ist nicht wirklich ein Quanteneffekt, sondern einfach ein Modewort, das anstelle von Diskretion verwendet wird .
Ich verstehe. Die Amplitude der Schwingung kann beliebig sein und damit auch die Energie. Ich war zu konzentriert in der Frequenz.
@Vadim diese Erklärung im Kommentar ist eine nützliche Ergänzung zur Antwort. Es wäre besser, es im Antworttext zu haben, damit es bei einer möglichen Bereinigung von Kommentaren nicht entfernt wird.
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