Ich bekomme keine Bandstruktur von Feststoffen

Ok, ich bin keineswegs und Experte für Festkörper, aber ich könnte ein wenig hilfreich sein.

Die Bandstruktur in Festkörpern entsteht nur aufgrund der Periodizität des Gitters. Auf diese Periodizität kommt es an.

Die Periodizität des Gitters macht das Potential ebenfalls periodisch.

Diese Periodizität hat viele (interessante) Konsequenzen (Bloch-Zustände und bla bla bla), aber die für Sie wichtige ist, dass die Energie-Eigenzustände des Hamilton-Operators durch spezifiziert werden$\vec{k}$, ein Vektor des reziproken Raums und ein weiterer Index, den ich "n" nennen werde (dieses "n" wird die Bänder kennzeichnen).

Nun ist der Kehrwert periodisch, weil der Kristall periodisch ist. Dann

$\epsilon_n(\vec{k})=\epsilon_n(\vec{k}+period)$

Sie sehen also, dass dieses Energiespektrum des einzelnen Elektrons im periodischen Potential des Kristalls beschränkt werden muss und alle Energiewerte gegeben sind$n$muss in einem Band möglicher Werte liegen. DAS ist die Bandstruktur. Sie haben ein Band für jedes "n".

Jetzt sind alle$\epsilon_n(\vec{k})$erlaubt? Nein (zumindest nein, wenn Sie unter den Randbedingungen von Born und Von Karman arbeiten (was ich immer gesehen habe)). Diese Randbedingungen diskretisieren das Mögliche$\vec{k}$Vektoren (und eigentlich kann man sich auf die beschränken$\vec{k}$einer primitiven Zelle des reziproken Gitters nach Born und Von Karman).

Sie sehen also, Elektronen in Kristallen befinden sich ebenfalls in einem diskreten Spektrum.

Dies wird in Ashcrofts Buch ziemlich schön erklärt. Die Idee ist, dass die Periodizität des Gitters Ihnen eine Bandstruktur der Energieniveaus des einzelnen Elektrons gibt. Dann diskretisieren die Born- und Von-Karman-Randbedingungen das Spektrum.

Wenn Sie nach dem Spektrum auflösen, gehen Sie davon aus, dass der Festkörper eine unendliche Ausdehnung hat und das Elektron daher nicht wirklich gebunden ist. So können Sie ein Kontinuum an Schwung erhalten.

Betrachten Sie zum Beispiel den trivialen Fall, dass es keine Atome gibt und Sie nur ein freies Elektron im Raum haben. Dann ist die Energie proportional zum Quadrat des Impulses, und der Impuls kann beliebig groß sein, sodass Sie nur ein großes Band erhalten.

Die Bänder entstehen durch die Wechselwirkung des Elektrons mit dem Gitter. Angenommen, wir könnten ein Atomgitter hinzufügen, mit dem das Elektron wechselwirkt. Wie ändert sich das und führt dazu, dass wir mehrere unterschiedliche Bänder haben? Beachten Sie, dass das Potential der Atome die kontinuierliche Translationsinvarianz (und damit die Impulserhaltung) bricht. Da die Atome aber immer noch auf einem Gitter liegen, haben wir Invarianz bei Translationen durch Gittervektoren und damit eine schwächere Form der Impulserhaltung, die besagt, dass die Wellenzahl nur bis zu einem Wellenvektor des reziproken Gitters erhalten bleibt Gitter unsere Atome sind auf.

Aber unser Energiespektrum scheint immer noch verbunden zu sein, wie bekommen wir Bandlücken aus der Nichterhaltung des Impulses? Betrachten Sie nun einen reziproken Gitterwellenvektor$\vec{K}$und Elektronenwellenzahl$\vec{k}$nahe$\vec{K}/2$. Dann verbieten die Symmetriegesetze einen Übergang vom Wellenvektor nicht$\vec{k}$und Wellenvektor$\vec{K}-\vec{k} = \vec{K}/2 + (\vec{K}/2 - \vec{k}) \approx \vec{K}/2\approx \vec{k}$seit$\vec{k} \approx \vec{K}/2$. Jetzt seit$\vec{K}-\vec{k} \approx \vec{k}$, die diesen beiden Wellenzahlen entsprechenden Zustände sind ähnlich$k^2$, dh ähnliche ungestörte Energie. Aber jetzt, da das Gitter vorhanden ist, wird es im Allgemeinen ein Matrixelement geben, das Übergänge zwischen diesen Zuständen ermöglicht, und daher werden sich diese Energieniveaus aufspalten, obwohl sie ursprünglich nahe beieinander lagen. Energien in der Nähe$\dfrac{(\vec{K}/2)^2}{2m}$werden daher wegen dieser Aufspaltung nicht erreicht und es entsteht eine Lücke im Spektrum. Das ist die Bandlücke.

Man könnte sich vorstellen, einen Festkörper herzustellen, indem man langsam alle Atome näher zusammenbringt. Je näher sie kommen, desto mehr stoßen die diskreten Elektronenbahnen aneinander. Aber die Elektronen können nicht im selben Zustand sein, und Sie beginnen, neue Zustände zu bekommen, die eine Kombination der diskreten Zustände sind. Und diese bilden Bänder. (Ja, das letzte ist ein bisschen wie ein Polizist, siehe einen Festkörper Text.) Hinweis: Sie haben Bänder in Isolatoren, in denen die Elektronen nicht frei sind.

Seltsam, ich bin mir ziemlich sicher, dass die richtige Antwort nach unten gestimmt wird. Wenn ich dies bearbeite, wird es wieder an den Anfang der Zeile gestoßen? Atome in eine periodische Anordnung zu bringen, garantiert also nicht, dass sich Bänder bilden. Wenn Atome einander nahe kommen, werden die Elektronen in Bänder gezwungen, weil sie Fermionen sind und nicht im selben Zustand sein können.

Denn in Festkörpern sind die Elektronen nicht gebunden.

Eine einfache Ableitung der kontinuierlichen Banden kann gemacht werden, wenn man sich Particle in a Box ansieht ( Wikipedia ).

Wenn wir uns der Zahl einer unendlichen Kiste mit unendlichen Teilchen (und konstanter Dichte) nähern, gibt es unendliche Zustände, und die Zustände nähern sich an, je weiter die Energielücke geht$L^{-2}$.

Daher entsteht ein durchgehendes Band.

Die Herleitung der Bandlücken ist etwas komplizierter. Im einfachen eindimensionalen Fall hängt dies mit der Periodizität der Atome zusammen. Betrachtet man die Wellenlänge, also die Periodizität des Kristalls, gibt es grundsätzlich zwei Möglichkeiten: Die eine, bei der die Elektronen eine hohe Dichtewahrscheinlichkeit an den Atomen haben, also eine geringere Energie haben, da sie angezogen werden. Die andere Möglichkeit ist, dass sie eine höhere Wahrscheinlichkeit zwischen den Atomen haben. Das ist energetisch nicht so gut für sie. Wir sehen also, dass wir 2 Zustände mit demselben haben$k$-Vektor, aber mit unterschiedlichen Energien. Dies ist der Grund für die Bandlücke.