Feynmans Pfadintegral und Energiediskretisierung?

Ich bin mir nicht sicher, was Sie für qualitative Beispiele in "Laienbegriffen" erwarten. Die Zeitentwicklungsamplitude von einem Punkt zum anderen,

$$\langle x_f|U(T)|x_i\rangle=K(x_f,x_i;T)~,$$ Aus dem Pfadintegral berechnet, ist der Propagator , der für den Oszillator zufällig der berühmte Mehler-Kern von 1866 ist: eine kausale Greensche Funktion der Oszillatorgleichung. Nicht zufällig gab es diese schon 60 Jahre vor QM. Der Punkt ist, dass der Pfadintegralpropagator größtenteils klassisch ist . Die Quantisierung von Energieniveaus ist eigentlich ein Merkmal des kompakten Zeitbereichs, wie @Qmechanic kommentiert.

Konkret beläuft sich die klassische Aktion für den Oszillator aus der obigen WP-Referenz auf

$$\begin{align} S_\text{cl} & = \int_{t_i}^{t_f} \mathcal{L} \,dt = \int_{t_i}^{t_f} \left(\tfrac12 m\dot{x}^2 - \tfrac12 m\omega^2 x^2 \right) \,dt \\[6pt] & = \frac 1 2 m\omega \left( \frac{(x_i^2 + x_f^2) \cos\omega(t_f - t_i) - 2 x_i x_f}{\sin\omega(t_f - t_i)} \right)~. \end{align}$$

Der Propagator, also die obige Amplitude, kann aus dem Funktionsintegral als ausgewertet werden

$$K(x_f, x_i;T) = \Large e^\frac{i S_{cl}}{\hbar} \small ~ \sqrt{ \frac{m\omega}{2\pi i \hbar \sin\omega(t_f - t_i)}}~~,$$ wo $T=t_f-t_i$. Tatsächlich ist es das Exponential der klassischen Wirkung, mit einer geringfügigen Normalisierungskorrektur aufgrund von Quantenfluktuationen, die jedoch nicht so wichtig ist.

• Die quantisierten Energieniveaus befinden sich bereits in den diskreten Harmonischen, die durch die Periodizität der klassischen Wirkung vorhergesagt werden – sie sind sich ihrer selbst nicht bewusst$\hbar$.

Dieser Ausdruck entspricht auch dem herkömmlichen Hilbert-Raumpropagator in Bezug auf Hermite-Funktionen,

$$\begin{align} K(x_f, x_i;T ) & = \left( \frac{m \omega}{2 \pi i \hbar \sin\omega T } \right)^\frac12 \exp{ \left( \frac{i}{2\hbar} m \omega \frac{ (x_i^2 + x_f^2) \cos \omega T - 2 x_i x_f }{ \sin \omega T } \right) } \\[6pt] & = \sum_{n = 0}^\infty \exp{ \left( - \frac{i E_n T}{\hbar} \right) } \psi_n(x_f) ~\psi_n(x_i)^{*}~, \end{align}$$ mit dem Sie Ihr Ket zum BH der Amplitude im konventionellen Hilbert-Raum ausbreiten würden. (Dies ist der Ausdruck, den Mehler 1866 summierte.) Aber Sie möchten vielleicht so tun, als wären Sie ein Marsianer, der diese Formulierung nicht kennt, oder Mehlers wunderbare, "vorsichtig", Formel.

Schreiben Sie dies um als

$$= \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^\frac12 e^\frac{-i \omega T} 2 \left( 1 - e^{-2 i \omega T} \right)^{-\frac12} \exp{ \left( - \frac{m \omega}{2 \hbar} \left( \left(x_i^2 + x_f^2\right) \frac{ 1 + e^{-2 i \omega T} }{ 1 - e^{- 2 i \omega T}} - \frac{4 x_i x_f e^{-i \omega T}}{1 - e^{ - 2 i \omega T} }\right) \right) }\\ \equiv \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^\frac12 e^\frac{-i \omega T } 2 ~ R(T)~.$$

Die$e^{-in\omega T }$Fourier-Moden von R(T) , die dann diesen 0-Punkt-Energie-Vorfaktor multiplizieren, können mit der Standard-Hilbert-Raum-Eigenzustandserweiterung der Auflösung verglichen werden, um Sie vom standardmäßigen quantisierten Spektrum des Quantenoszillators zu überzeugen.$E_n = \left( n + \tfrac12 \right) \hbar \omega~.$

Hier brauchen Sie angesichts der Diskretion nur die wesentliche Periodizität des Systems zu schätzen, die Kompaktheit, die Sie zu einer harmonischen Struktur zwingt: die Welligkeit des Systems; und dass das meiste davon auf die klassische Aktion in diesem (etwas außergewöhnlichen) quadratischen hamiltonschen Paradigma zurückführbar ist.

In ihrem elementaren Lehrbuch arbeiten Feynman und Hibbs es gut in Probs 2-2, 3-8, (Eqns 2-9,3-59) und "Spike" in Eqns (8-12), (8-13) aus. (Sie gehen sogar lächerlich weiter und versuchen, Sie "sehen" zu lassen, wie sich der Mehler-Kern in Hermite-Polynome dekonstruiert, und gehen meiner Meinung nach zu weit mit Anfragen Ihrer Art.) In jedem Fall ist es weniger obskur, der einfachen Mathematik zu folgen als es in "Code"-Worten zusammenzufassen.

Da dies eine konzeptionelle Frage ist, bedarf es vielleicht einer einfachen, konzeptionellen Antwort:

Feynmans Pfadintegral kann als Integral von dargestellt werden$e^{iS/ħ}$über alle möglichen Wege. Beachten Sie das$i$im Exponenten, was den Integranden dazu zwingt, in Bezug auf den Wert von S (der reell ist) periodisch zu sein. Das Setzen der Variation des Integrals gleich Null wählt diskrete Sätze von Pfaden aus. Das ist meiner Meinung nach der einfachste Weg, um die Diskretion der Energiezustände im Oszillator (dessen Energie eng mit S verbunden ist) zu verstehen.