Energie- und Zeitentwicklung eines Teilchens in einem Potentialtopf

Question

Energie- und Zeitentwicklung eines Teilchens in einem Potentialtopf

Charlie

Ich habe ein Teilchen in einem unendlichen quadratischen Brunnen (die Box ist von 0 bis $a$ ), in dem von der Funktion beschriebenen Zustand

ψ (X) = {\begin{cases} A X (A - X) & F Ö R 0 < X < A, \\ 0 & ansonsten . \end{cases}

$\psi (x) = \begin{cases} Ax(a-x) & \mathrm{for }\;\;\;\;0<x<a,\qquad \\ 0 \qquad &\text{otherwise}. \end{cases}$

Ich muss den wahrscheinlichsten Energiewert und die Wahrscheinlichkeit, einen Wert von zu erhalten, bestimmen $E = \frac{9\hbar^2 {\pi}^2}{2ma^2}$ .

Um die zweite Frage zu lösen, dachte ich das $E$ iss die klassische Lösung für Energie in einem Potentialtopf mit $n=3$ . Damit ich rechnen kann $\langle3| \psi\rangle$ $-$ in welchem $3$ ist die Lösungswellenfunktion mit $n=3$ $-$ und das ist alles? Rechts?

Aber was ist mit der ersten Frage? Muss ich rechnen $\langle H \rangle$ und mit einer Lösung des Potentialtopfes vergleichen?

Ich muss auch die Entwicklung der Wellenfunktion für bestimmen $t>0$ wann bei $t=0$ Wir schalten den Potentialbrunnen aus, irgendwelche Hinweise?

Ali

Dies ist ein Beispiel für eine „gute Hausaufgaben“-Frage.

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Energie- und Zeitentwicklung eines Teilchens in einem Potentialtopf

Dies ist ein Beispiel für eine „gute Hausaufgaben“-Frage.

Eric Winkel · Answer 1

Normalisieren Sie zuerst den Zustand zu finden $A$ .

Dann müssen Sie den Zustand als Überlagerung der stationären Zustände des unendlichen quadratischen Brunnens ausdrücken:

ψ (X) = A X (A - X) = \sum_{N = 1}^{\infty} C_{N} ψ_{N} (X),

$\psi\left(x\right) = A x \left(a-x\right) = \sum_{n=1}^\infty c_n \psi_n\left(x\right),$ Wo

ψ_{n} (x) = \sqrt{2 / a} \sin (n π x / a)

$\psi_n\left(x\right) = \sqrt{2/a} \sin\left(n \pi x / a\right)$ ist der

n

$n$ -ten stationären Zustand. Sie können dies mithilfe der Orthogonalität der stationären Zustände tun,

\int_{0}^{A} D X ψ_{M}^{*} (X) ψ_{N} (X) = \frac{2}{A} \int_{0}^{A} D X Sünde (\frac{M π X}{A}) Sünde (\frac{N π X}{A}) = δ_{M N},

$\int_0^a dx \ \psi^*_m\left(x\right) \psi_n\left(x\right) = \frac{2}{a} \int_0^a dx \ \sin\left(\frac{m \pi x}{ a}\right) \sin\left(\frac{n \pi x}{ a}\right) = \delta_{mn},$ durch Integration der obigen Gleichung:

\begin{aligned} \int_{0}^{A} D X ψ_{M}^{*} (X) [A X (A - X)] & = \int_{0}^{A} D X ψ_{M}^{*} (X) [\sum_{N = 1}^{\infty} C_{N} ψ_{N} (X)] \\ = \sum_{N = 1}^{\infty} C_{N} [\int_{0}^{A} D X ψ_{M}^{*} (X) ψ_{N} (X)] \\ = \sum_{N = 1}^{\infty} C_{N} δ_{M N} \\ = C_{M} \end{aligned}

$\begin{align} \int_0^a dx \ \psi^*_m\left(x\right) \left[A x \left(a-x\right)\right] &= \int_0^a dx \ \psi^*_m\left(x\right) \left[ \sum_{n=1}^\infty c_n \psi_n\left(x\right) \right] \\ &= \sum_{n=1}^\infty c_n \left[ \int_0^a dx \ \psi^*_m\left(x\right)\psi_n\left(x\right) \right]\\ &= \sum_{n=1}^\infty c_n \delta_{m n} \\ &= c_m \end{align}$ Ich lasse die

c_{n} = A \sqrt{2 / a} \int_{0}^{a} d x \sin (n π x / a) x (a - x)

$c_n = A \sqrt{2/a} \int_0^a dx \ \sin\left(n \pi x / a\right) x \left(a-x\right)$ integral für Sie zu trainieren.

Sobald Sie die haben $c_n$ Der wahrscheinlichste Wert einer Messung der Energie ist die Energie, die dem stationären Zustand mit Maximum entspricht $c_n$ .

Um die Messwahrscheinlichkeit zu finden $9 \hbar^2 \pi^2 / 2 m a^2$ Bestimmen Sie für die Energie den stationären Zustand, dem diese Energie entspricht, und berechnen Sie $\left|c_n\right|^2$ .

Für die Zeitentwicklung, da das Potenzial ist $0$ überall danach $t=0$ , es ist ein freies Teilchen, und die allgemeine Lösung lautet:

Ψ (X, T) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} D k ϕ (k) \exp [ich (k X + \frac{ℏ k^{2}}{2 M} T)],

$\Psi\left(x,t\right) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty dk \ \phi\left(k\right) \exp\left[i\left(k x + \frac{\hbar k^2}{2 m} t\right)\right],$ Wo

ϕ (k) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{0}^{A} D X Ψ (X, 0) \exp (- ich k X) = \frac{A}{\sqrt{2 π}} \int_{0}^{A} D X X (A - X) \exp (- ich k X) .

$\phi\left(k\right) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_0^a dx \ \Psi\left(x,0\right) \exp\left(-i k x\right) = \frac{A}{\sqrt{2 \pi}} \int_0^a dx \ x\left(a-x\right) \exp\left(-i k x\right) .$ Jetzt musst du nur noch dieses Integral machen.

Wirklich erhellend. Also muss ich die Koeffizienten finden $b_n$ der Fourier-Reihe. Aber sollte ich aus integrieren $-\pi$ Zu $\pi$ auch in diesem Fall? Und $f(x)sin(nx)$ oder $f(x)sin(\frac{\pi n}{a}x)$ ?
Ich habe ein paar Änderungen vorgenommen, die die Dinge klären sollten.
Tut mir leid, aber ich habe nicht verstanden, wie ich das finden kann $c_n$ davon. Das dachte ich mir seitdem $\psi_n$ ist ein $sin$ Funktion muss ich nur noch die Koeffizienten finden $b_n$ um die zu erweitern $f(x)$ mit Fourier.
Ich verstehe es einfach nicht. Wozu brauche ich die Orthogonalitätseigenschaft?
Ich habe noch ein paar Änderungen vorgenommen. Mit der Orthogonalitätsbedingung können Sie eine einzelne auswählen $c_n$ aus der unendlichen Summe.
Rechts! Daran habe ich mich dummerweise festgeklammert. Ich glaube, Sie haben mir die mathematisch korrekte Lösung dessen gezeigt, was ich tun wollte.
Ich habe meine Antwort noch einmal aktualisiert. Lassen Sie mich wissen, wenn das keinen Sinn macht.
Ich stimme der Lösung von voll und ganz zu $\psi(x,t)$ wenn es das Potenzial gut gibt. Aber wenn wir es ausschalten, sind die Lösungen der Schrödinger-Gleichung ebene Wellen und nicht einmal physikalische Zustände.
Gotcha, also ist es ein freies Teilchen danach $t=0$ . Ich habe meinen Beitrag aktualisiert, um dies widerzuspiegeln.

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Charlie

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Eric Winkel

dmckee --- Ex-Moderator-Kätzchen

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