Der Energieeigenwert einer Wellenfunktion

Ich habe online eine Einführung in die Quantenmechanik gelesen und beim Konstruieren der Schrödinger-Gleichung für ein freies Teilchen die Gleichung ich ℏ D Ψ D T = ℏ ω Ψ erhalten wird.

Es wird dann erklärt, dass wenn ich ℏ D D T als Operator betrachtet wird, dann bedeutet die Gleichung "dass, wenn sie weiterarbeitet Ψ , das Ergebnis, das wir zurückbekommen, ist der Energieeigenwert der Welle."

Das ist mir klar Ψ ist eine Eigenfunktion von ich ℏ D D T , wobei der Eigenwert ist ℏ ω , aber ich verstehe nicht, warum sie das sagen ℏ ω Ψ ist der „Energie-Eigenwert der Welle“.

Soweit mein Verständnis reicht, ℏ ω gibt die Energie eines Photons mit Kreisfrequenz an ω , und daher ist mir unklar, warum sich die Energie eines Photons mit multipliziert Ψ von besonderer Bedeutung wäre.

Außerdem glaube ich nicht zu verstehen, was mit der Aussage "der Energieeigenwert der Welle" gemeint ist.

Wenn jemand helfen könnte, diese Konzepte zu erklären (vorzugsweise ohne zu viel Wissen über QM vorauszusetzen), wäre das großartig.

Antworten (2)

E = ℏ ω ist die Energie eines beliebigen Teilchens, nicht nur eines Photons.

Der Begriff Eigenwert stammt aus der linearen Algebra. Gegeben eine Matrix M , ein Eigenvektor v von M mit Eigenwert λ ist eine Lösung der Gleichung

M v = λ v

In der Quantenmechanik ist die Wellenfunktion als eine Art Vektor zu denken. Observablen werden durch (hermitesche) Operatoren dargestellt (die moralisch dasselbe sind wie (hermitesche) Matrizen), und die Eigenwerte dieser Operatoren sind die möglichen Werte, die die Observable annehmen kann.

Also einstellen M = ich ℏ ∂ ∂ T , v = Ψ , Und λ = ℏ ω , sehen Sie, dass die von Ihnen geschriebene Gleichung nur eine Eigenwertgleichung für den "Energieoperator" ist ich ℏ ∂ ∂ T . Der Eigenwert ist ℏ ω . Er wird Energieeigenwert genannt, weil die Observable die Energie ist.

Ihr physikalisches System wird durch eine Wellenfunktion beschrieben (ich nenne es lieber einen "Zustand") Ψ . Wenn Ψ diese Eigenwertgleichung erfüllt, dann messen Sie das System, um die Energie zu haben E mit 100% Wahrscheinlichkeit. Allgemein Ψ kein Eigenvektor des Energieoperators sein. Aufgrund der magischen Eigenschaften hermitescher Operatoren kann es jedoch als Summe von Energieeigenvektoren geschrieben werden (Anmerkung hinzugefügt - ich meine das spezielle Theorem, https://en.m.wikipedia.org/wiki/Spectral_theorem ). Wenn Sie in diesem Fall die Energie messen, messen Sie sie als einen der Eigenwerte der sich bildenden Eigenvektoren Ψ , wobei die Wahrscheinlichkeit durch das Quadrat der Amplitude dieses Eigenvektors gegeben ist.

Wenn die Notizen, denen Sie folgen, dies nicht klar erklärt haben, bevor Sie sich mit Energieeigenwerten befassen, würde ich dringend empfehlen, nach alternativen Referenzen zum Lesen zu suchen. Es gibt eine Million Referenzen, die die Quantenmechanik auf allen Ebenen und auf viele verschiedene Arten erklären. Dieser Punkt, nach dem Sie fragen, ist das zentrale Konzept der gesamten Quantenmechanik, daher lohnt es sich auf jeden Fall, viele Quellen dazu zu lesen, um diejenige zu finden, die die Erklärung enthält, die Sie am klarsten finden.

Vielen Dank. Ich schätze, der größte Teil meiner Verwirrung kam daher, dass ich das nicht bemerkte ℏ ω war die Energie eines beliebigen Teilchens (anstatt nur Photonen), aber jetzt, wo das geklärt ist, macht das Sinn.
Auf welche spezielle magische Eigenschaft beziehst du dich hier?
Der Spektralsatz. Ich habe einen Link zu Wikipedia hinzugefügt.

Als Ergebnis erhalten wir den Energieeigenwert der Welle.

Es ist nicht richtig, an „den“ Energieeigenwert einer Wellenfunktion zu denken.

Vielmehr ist eine Wellenfunktion entweder eine Energieeigenfunktion oder nicht.

Wenn es eine Energieeigenfunktion ist, dann gibt es einen Energieeigenwert , sonst nicht.

Mit anderen Worten, Ihre erste Gleichung gilt nur , wenn die Ψ ist eine Energieeigenfunktion.

Die allgemeine Wellenfunktion ist keine Energieeigenfunktion, kann aber immer in eine gewichtete Summe von Energieeigenfunktionen zerlegt werden.

Okay. Welche Bedeutung hat also der Energieterm in dieser Gleichung? Das heißt, selbst wenn der Eigenwert Energie darstellt, ist es nur die Energie eines Photons, richtig? Also, was ist es wichtig, das wann zu notieren ich ℏ D D T operiert weiter Ψ der Eigenwert der Eigenwertgleichung die Energie eines Photons ist?
@nsanger Der Punkt ist, dass die Schrödinger-Gleichung ich ℏ D ψ / D T = H ^ ψ ist ganz allgemein, auch wenn ψ kein Eigenzustand ist und selbst wenn Sie etwas Komplizierteres als ein einzelnes Photon beschreiben. Wirklich, im Grunde ist dies die Definition von Energie. Energie ist der Operator, der die Zeitentwicklung erzeugt. Sie geben Ihnen nur ein Plausibilitätsargument mit einem Beispiel, bei dem Sie die Antwort bereits kennen. Die Eigenzustände sind wichtig, weil ihre zeitliche Entwicklung besonders einfach ist und Sie sie verwenden können, um allgemeinere Zustände aufzubauen.
Der Energieeigenwert einer Wellenfunktion
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