Kann jemand klären, was ein Operator in meiner Überprüfung der 1D-Lösung für das SE für ein freies Teilchen sein sollte und was nicht?

Ich habe gerade die 1D-Lösung für freie Teilchen der Schrödinger-Gleichung ausgearbeitet.

Meine Wellenfunktion war

ψ ( X , T ) = A e ich ( P X − E T ) / ℏ
Also setzte ich dies in beide Seiten der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung ein und begann zu verifizieren. Ich habe LHS und RHS separat gemacht.
Ich bin dann mit gelandet
ich ℏ ∂ ∂ T ψ = 1 2 P 2 M ψ

was wie die richtige Form für die Lösung der freien Teilchen aussieht .

Meine Verwirrung

Ich verstehe nicht, wohin die Operatoren gegangen sind. Wenn ich den in der zeitabhängigen SE definierten Hamiltonian sehe, lautet er normalerweise

ich ℏ ∂ ∂ T ψ = H ^ ψ = 1 2 P ^ 2 M ψ

Aber meine Antwort ist scheinbar hutlos. Oben habe ich definiert P = ℏ k Das ist die De-Broglie-Beziehung. Aber der Artikel, aus dem ich die ursprüngliche Wellenfunktion erhalten habe, sagte nicht, dass ich die machen musste P In ψ ( X , T ) = A e ich ( P X − E T ) / ℏ ein Operateur. Ich bin also verwirrt, was ein Operator sein sollte und was nicht.

Meine Frage:

Kann jemand klären, was ein Operator in meiner Überprüfung der 1D-Lösung für das SE für ein freies Teilchen sein sollte und was nicht?

Antworten (1)

Deine Lösung ist richtig. Was Sie erhalten, um es zu überprüfen, ist das ψ ist auch eine Eigenfunktion des Impulsoperators, das heißt

P ^ ψ = P ψ ,

Wo P ^ = − ich ℏ ∇ ist Impulsoperator, und P ist sein Eigenwert.

Jetzt bewerben P ^ zweimal und dividiert durch 2 M , du kannst bekommen

1 2 M P ^ 2 ψ = 1 2 M P 2 ψ ,

was nur eine andere Form der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung für freie Teilchen ist:

1 2 M P ^ 2 ψ = E ψ .

Hier T ^ = 1 2 M P ^ 2 ist der kinetische Energieoperator, und E ist sein Eigenwert, dh die Energie des Teilchens in diesem Eigenzustand ψ .

Sind alle Lösungen der Schrödinger-Gleichung Eigenfunktionen? Ich vermute nicht. Wie erkenne ich, ob eine gegebene Lösung des SE eine Eigenfunktion ist?
Alle Lösungen der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung mit geeigneten Randbedingungen sind Eigenfunktionen des Hamilton-Operators – das ist konstruktionsbedingt. Wie bei der zeitabhängigen SE kann die Lösung als Eigenfunktion eines Operators einer Erhaltungsgröße in einem gegebenen Problem gewählt werden. In Ihrem Fall ist diese Erhaltungsgröße Impuls. Wenn Sie zufällig die Lösung als gewählt haben Sünde anstatt exp , würde diese Wahl der Erhaltung der Parität entsprechen (dh eine solche Funktion hat eine bestimmte Parität), während Ihre ursprüngliche Wahl einen bestimmten Impuls hat P .
Kann jemand klären, was ein Operator in meiner Überprüfung der 1D-Lösung für das SE für ein freies Teilchen sein sollte und was nicht?
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