Warum hängen die Energieeigenwerte nie von der Ortskoordinate xxx ab?

Question

Warum hängen die Energieeigenwerte nie von der Ortskoordinate xxx ab?

Erstarrung

Die Eigenwerte des Hamiltonoperators können vom Impuls abhängen $p$ , nur für ein freies Teilchen wo $[\hat p,\hat H]=0$ . In diesem Fall, da die Energie- und Impuls-Eigenwerte durch die Beziehungen gegeben sind

E = \frac{ℏ^{2} k^{2}}{2 M}, P = ℏ k

$E=\frac{\hbar^2k^2}{2m},~ p=\hbar k$ bzw. sie machen gemeinsam die Energie

E

$E$ abhängig von Impuls als

E = \frac{P^{2}}{2 M},

$E=\frac{p^2}{2m},$ Reproduktion des klassischen Ergebnisses. Aber die Energieeigenwerte hängen nie von der Ortskoordinate ab

x

$x$ . Ich kann mich an kein Beispiel erinnern, bei dem der Energieeigenwert in Abhängigkeit von variierte

x

$x$ . Ich habe jedoch das Gefühl, dass dies mit der Nichtkommutativität von zusammenhängt

\hat{x}

$\hat x$ Und

\hat{H}

$\hat H$ dh

[\hat{x}, \hat{H}] \neq 0

$[\hat x,\hat H]\neq 0$ . Aber einen Beweis dafür habe ich nicht.

PM 2Ring

Betrachten Sie, was mit dem Ortszustand eines Teilchens in einem reinen Impuls-Eigenzustand passiert.

Erstarrung

Ich interessiere mich nicht für den Eigenwert irgendeines Operators außer dem des Hamiltonoperators. Eigenwerte von H, haben keine x-Abhängigkeit. Warum?

Gert

Interessieren Sie sich nur für freie Teilchen ? Oder (auch) gebundene Teilchen?

Erstarrung

@Gert Kein gebundenes Zustandsproblem in der Quantenmechanik, an das ich mich erinnern kann, hat

x

$x$ abhängiger Energieeigenwert. Ich frage warum.

Gert

Ich habe viele gebundene Zustandsprobleme analytisch gelöst und erinnere mich nicht an eine einzige Lösung mit ortsabhängigen Energieeigenwerten. Ich bezweifle, dass es dafür ein übergeordnetes Prinzip gibt. Stattdessen scheint die TISE immer positionsunabhängig Hamilt zu liefern. Eigenwerte. Sieht für mich nach einem Eigentum der TISE aus. Keine sehr befriedigende Antwort, ich weiß...

Erstarrung

Könnte es sein, dass es daraus folgt

[\hat{x}, \hat{H}]

$[\hat{x},\hat{H}]$ ungleich Null sein?

Gert

Ja, Sie haben das erwähnt, aber was lässt Sie glauben, dass eine Nicht-Kombination zu einer Positionsunabhängigkeit führen würde?

\hat{H}

$\hat{H}$ Eigenwerte? Ich sehe den Zusammenhang nicht...

Antworten (2)

Warum hängen die Energieeigenwerte nie von der Ortskoordinate xxx ab?

Betrachten Sie, was mit dem Ortszustand eines Teilchens in einem reinen Impuls-Eigenzustand passiert.
Ich interessiere mich nicht für den Eigenwert irgendeines Operators außer dem des Hamiltonoperators. Eigenwerte von H, haben keine x-Abhängigkeit. Warum?
Interessieren Sie sich nur für freie Teilchen ? Oder (auch) gebundene Teilchen?
@Gert Kein gebundenes Zustandsproblem in der Quantenmechanik, an das ich mich erinnern kann, hat $x$ abhängiger Energieeigenwert. Ich frage warum.
Ich habe viele gebundene Zustandsprobleme analytisch gelöst und erinnere mich nicht an eine einzige Lösung mit ortsabhängigen Energieeigenwerten. Ich bezweifle, dass es dafür ein übergeordnetes Prinzip gibt. Stattdessen scheint die TISE immer positionsunabhängig Hamilt zu liefern. Eigenwerte. Sieht für mich nach einem Eigentum der TISE aus. Keine sehr befriedigende Antwort, ich weiß...
Könnte es sein, dass es daraus folgt $[\hat{x},\hat{H}]$ ungleich Null sein?
Ja, Sie haben das erwähnt, aber was lässt Sie glauben, dass eine Nicht-Kombination zu einer Positionsunabhängigkeit führen würde? $\hat{H}$ Eigenwerte? Ich sehe den Zusammenhang nicht...

Benutzer1379857 · Answer 1

Der Hamiltonoperator eines Teilchens in einer externen potentiellen Energie $V(x)$ kann geschrieben werden als

H = - \frac{H^{2}}{2 M} \nabla^{2} + v (X)

$H = -\frac{h^2}{2m} \nabla^2 + V(x)$ also hängt der Energieoperator tatsächlich von der Ortskoordinate ab.

Es sollte jedoch gesagt werden, dass eine Wellenfunktion $\psi(x)$ mit eindeutiger Energie $E$ erfüllt

H ψ (X) = E ψ (X)

$H \psi(x) = E \psi(x)$ Wo

E

$E$ ist nur eine konstante Zahl. Eigenwerte sind per Definition Skalare. Sie hängen jedoch von den Parametern der Wellenfunktion ab. Also zum Beispiel, wenn wir eine Sammlung von Wellenfunktionen haben

ψ_{i} (x)

$\psi_i(x)$ , Wo

i

$i$ ist nur ein Etikett, dann können wir schreiben

H ψ_{ich} (X) = E_{ich} ψ_{ich} (X) .

$H \psi_i(x) = E_i \psi_i(x).$ Hier sehen wir also die Energie

E_{i}

$E_i$ , hängt natürlich davon ab, welche Wellenfunktion

ψ_{i} (x)

$\psi_i(x)$ wir reden, dh es kommt auf das Etikett an

i

$i$ .

Es ist genau dasselbe wie eine Matrix zu haben $A$ und eine Basis von Eigenvektoren $v_i$ , die befriedigen

A v_{ich} = λ_{ich} v_{ich} .

$A v_i = \lambda_i v_i.$ Der

λ_{i}

$\lambda_i$ sind konstant, in dem Sinne, dass sie sich multiplizierende Skalare sind

v_{i}

$v_i$ , aber offensichtlich hängen sie davon ab

i

$i$ !

Wenn $V(x) = 0$ , dann können wir die Wellenfunktionen bezeichnen $\psi_k(x)$ mit dem Vektor $k$ als

ψ_{k} (X) = e^{- ich k \cdot X} .

$\psi_k(x) = e^{- i k \cdot x}.$ Nun siehst du,

k

$k$ ist wirklich ein Label , das verschiedene Zustände kennzeichnet

ψ_{k} (x)

$\psi_k(x)$ . Wir haben dann

H ψ_{k} (X) = \frac{ℏ^{2} k^{2}}{2 M} ψ_{k} (X)

$H \psi_k(x) = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \psi_k(x)$ So

E_{k} = \frac{ℏ^{2} k^{2}}{2 M} .

$E_k = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}.$ Bitte beachte das

E_{k}

$E_k$ ist wirklich eine Konstante, weil es sich nur multipliziert

ψ_{k} (x)

$\psi_k(x)$ als Skalar, aber es hängt vom Parameter ab

k

$k$ , welche Labels welchen Staat Sie sprechen.

Bearbeiten: Beweis: In Ordnung für $E$ vom Eigenwert des Operators "abhängen". $\hat x$ , müssten die bestimmten Energiezustände selbst Eigenzustände der sein $\hat x$ Operator. Diese werden von den Bundesländern vergeben

ψ_{X_{0}} (X) = δ (X_{0} - X)

$\psi_{x_0}(x) = \delta(x_0 - x)$ Wo

\hat{X} ψ_{X_{0}} (X) = X_{0} ψ_{X_{0}} .

$\hat x \psi_{x_0} (x) = x_0 \psi_{x_0}.$

Wenn diese Zustände Eigenvektoren von beiden wären $\hat x$ Und $\hat H$ , Dann $(\hat H \hat x - \hat x \hat H) \psi_{x_0}(x) = 0$ . Weil das $\psi_{x_0}(x)$ eine vollständige Basis von Zuständen umfasst, dann beweist dies das $[\hat{H},\hat{x}]=0$ . Deshalb $E$ kann nicht von den Eigenwerten von abhängen $\hat x$ es sei denn $[\hat{H},\hat{x}]=0$ . QED.

Aber lohnt es sich nicht zu fragen, warum $x$ Werte nicht als Parameter in den Energieeigenwerten auftauchen? Wir können die Energieeigenfunktionen im Fall freier Teilchen mit bezeichnen $k$ ist das $[\hat p,\hat H]=0$ Und $p=\hbar k$ . Im Allgemeinen, warum $E_i=E(x_i)$ sind verboten?
Dies liegt nur daran, dass Sie in diesem Fall explizit einen Hamilton-Operator erstellen, der daraus aufgebaut ist $p$ und nicht $x$ , also die Eigenwerte von $H$ wird offensichtlich durch die Eigenwerte von gekennzeichnet $p$ . Wenn Sie den unphysikalischen Hamiltonian gemacht haben $H = V(x)$ , dann wären die Energieeigenzustände $\psi_{x_0}(x) = \delta(x - x_0)$ mit Energie $E_{x_0} = V(x_0)$ .
Sie sagen also, dass die x-Unabhängigkeit von $E$ folgt als Folge von $[x,H]\neq 0$ ? In diesem Fall möchte man einen Beweis sehen.
Du scheinst verschiedene Dinge miteinander zu verwechseln. Wenn $E$ abhängig $x$ , hätten Sie die Gleichung $H \psi(x) = E(x) \psi(x)$ , das ist Unsinn! $E$ ist ein Skalar (ein Eigenwert) und keine Funktion. Es gilt jedoch auch, dass bei zwei pendelnden hermiteschen Operatoren $[A, B] = 0$ , dann können Sie beide gleichzeitig diagonalisieren, was bedeutet, dass Sie eine Basis wo finden können $A v_i = \lambda^A_i v_i$ Und $B v_i = \lambda^B_i v_i$ . In dieser Situation, $i$ beschriftet beides $\lambda^A_i$ Und $\lambda^B_i$ . Dies ist die Situation, in der Sie haben $E = \hbar^2 k^2 / 2m$ , wo beides $E$ Und $p$ darauf ankommen $k$ .
Was hält eine Eigenwertgleichung aus $H\psi_i(x)=E_i\psi_i(x)$ Wo $E_i=E(x_i,...)$ Wo $...$ können andere Konstanten sein. Hier, $x_i$ könnte ein bestimmter Wert von sein $x$ , und damit eine Zahl oder ein Skalar oder Parameter, was immer Sie wollen.
Das ist in dem Fall tatsächlich der Fall $H = V(x)$ habe ich oben beschrieben. Dann $E(x_0) = V(x_0)$ , Wo $x_0$ ist der Eigenwert des Positionsoperators.
Aber wie Sie sagten, das ist ein unphysikalisches Problem, wo $[H,x]=0$ . Außerdem ist dies der einzige Fall, in dem Sie ein Beispiel finden können, wo $E$ hängt parametrisch ab $x$ . Im Allgemeinen jedoch $[H,x]\neq 0$ . Wenn $[H,x]\neq 0$ , es ist wahr, dass man keine simultanen Eigenfunktionen von finden kann $H$ Und $x$ . Energieeigenfunktionen können nicht mit gekennzeichnet werden $x$ . Aber wie schließt es aus, dass die Energieeigenwerte davon abhängen? $x$ , parametrisch?
Kleiner Kommentar: „ Aber offensichtlich hängen sie davon ab $i$ ". $i$ kann eine Reihe von Indizes sein, und im Fall der Entartung hängt die Energie möglicherweise nicht von allen ab. Zum Beispiel In nichtrelativistischem H-Atom für ein gegebenes $n$ , die Energie aller Zustände $\psi_{nlm}$ darauf ankommen $n$ nur.
Beweis: In Ordnung für $E$ vom Eigenwert des Operators "abhängen". $\hat x$ , müssten die bestimmten Energiezustände selbst Eigenzustände der sein $\hat x$ Operator. Wenn dem so wäre, dann $(\hat H \hat x - \hat x \hat H) \psi_{x_0}(x) = 0$ . Weil das $\psi_{x_0}(x)$ eine vollständige Basis von Zuständen umfasst, dann beweist dies das $[\hat H, \hat x] = 0$ . Deshalb $E$ kann nicht von den Eigenwerten von abhängen $\hat x$ es sei denn $[\hat H, \hat x] = 0$ . QED.
Ja. Das war meine Vermutung in der Frage. Für die Energie, auf die man sich verlassen kann $x$ , oder durch Eigenwerte von gekennzeichnet werden $x$ , $[H,x]=0$ . Dasselbe gilt für $p$ . Für die Energie, auf die man sich verlassen kann $p$ , oder durch Eigenwerte von gekennzeichnet werden $p$ , $[H,p]=0$ . Ich habe also nicht zwei verschiedene Dinge miteinander vermischt :-)
@ user1379857 Warten Sie, es ist offensichtlich, dass der Hamiltonian mit dem Positionsoperator pendeln müsste, damit die Positionseigenwerte eine Bezeichnung für die Energieeigenwerte sind. Ich denke, es sollte erklärt / motiviert werden, warum es für den Hamiltonian katastrophal wäre, mit dem Positionsoperator zu pendeln.

Joigus · Answer 2

Angenommen, Sie haben einen Eigenzustand von $H$ , $\left|\psi\right\rangle$ von bestimmter Energie $E_0$ . Das bedeutet, dass die Wellenfunktion in $E$ -Vertretung ist,*

⟨ E | ψ ⟩ = δ (E, E_{0})

$\left\langle E\left|\psi\right.\right\rangle =\delta\left(E,E_{0}\right)$ Woher

δ (E, E_{0})

$\delta\left(E,E_{0}\right)$ Ich meine

δ (E - E_{0})

$\delta\left(E-E_{0}\right)$ wenn das Spektrum kontinuierlich ist, oder

δ_{E, E_{0}}

$\delta_{E,E_{0}}$ , falls es diskret ist. Durch zweimaliges Verwenden der Abschlussrelation --once in

x

$x$ -Repräsentation, und einmal in

E

$E$ -Darstellung,

ICH = \int D X | X ⟩ ⟨ X | = \int D E | E ⟩ ⟨ E |

$I=\int dx\left|x\right\rangle \left\langle x\right|=\int dE\left|E\right\rangle \left\langle E\right|$ wir bekommen,

| ψ ⟩ = \int D X | X ⟩ ⟨ X | ψ ⟩ =

$\left|\psi\right\rangle =\int dx\left|x\right\rangle \left\langle x\left|\psi\right.\right\rangle =$

= \int D X \int D E | X ⟩ ⟨ X | E ⟩ ⟨ E | ψ ⟩ =

$=\int dx\int dE\left|x\right\rangle \left\langle x\left|E\right.\right\rangle \left\langle E\left|\psi\right.\right\rangle =$

= \int D X \int D E | X ⟩ ⟨ X | E ⟩ δ (E, E_{0}) =

$=\int dx\int dE\left|x\right\rangle \left\langle x\left|E\right.\right\rangle \delta\left(E,E_{0}\right)=$

= \int D X | X ⟩ ⟨ X | E_{0} ⟩

$=\int dx\left|x\right\rangle \left\langle x\left|E_{0}\right.\right\rangle$ Diese Identität sagt uns, dass wir einen Eigenvektor des Hamilton-Operators mit einem bestimmten Wert von haben

E

$E$ (konstant, ja, aber konstant in Bezug auf was?), alle möglichen Werte von

x

$x$ in irgendeiner Weise darin integriert sind , im allgemeinsten Fall in denen

x

$x$ Und

H

$H$ pendeln nicht.

Nehmen wir nun an, der Hamiltonian wäre diagonal in der $x$ - Vertretung . Das scheinen Sie als Möglichkeit vorzuschlagen. Dann, und nur dann – etwas, was selten passiert –,

⟨ X | H | X^{'} ⟩ = E (X) δ (X - X^{'})

$\left\langle x\left|H\right|x'\right\rangle =E\left(x\right)\delta\left(x-x'\right)$

E_{0} = \int D X \int D X^{'} ⟨ E_{0} | X ⟩ E (X) δ (X - X^{'}) ⟨ X^{'} | E_{0} ⟩ =

$E_{0}=\int dx\int dx'\left\langle E_{0}\left|x\right.\right\rangle E\left(x\right)\delta\left(x-x'\right)\left\langle x'\left|E_{0}\right.\right\rangle =$

= \int D X ⟨ E_{0} | X ⟩ E (X) ⟨ X | E_{0} ⟩ =

$=\int dx\left\langle E_{0}\left|x\right.\right\rangle E\left(x\right)\left\langle x\left|E_{0}\right.\right\rangle =$

= \int D X E (X) {| ⟨ X | E_{0} ⟩ |}^{2}

$=\int dxE\left(x\right)\left|\left\langle x\left|E_{0}\right.\right\rangle \right|^{2}$ Es gäbe nur einen Wert von

x

$x$ (sagen,

x_{0}

$x_{0}$ ), was Ihnen ein Skalarprodukt ungleich Null geben würde. Und dann,

E_{0} = E (X_{0})

$E_{0}=E\left(x_{0}\right)$ * davon gehe ich aus

⟨ E | E ⟩ = 1

$\left\langle E\left|E\right.\right\rangle =1$ , also bin ich da etwas unbekümmert. Ich hoffe du verzeihst mir.

Wie ich sehe, hat @user1379857 bereits einige der Punkte aufgenommen, die ich hier mache. Tut mir leid, es hat eine Weile gedauert, bis ich es bearbeitet habe, und einige der Punkte waren nicht da, als ich anfing, es zu schreiben. Ich werde meine Antwort zurückziehen, wenn sie sich wiederholen sollte.

Warum hängen die Energieeigenwerte nie von der Ortskoordinate xxx ab?

Erstarrung

PM 2Ring

Erstarrung

Gert

Erstarrung

Gert

Erstarrung

Gert

Antworten (2)

Benutzer1379857

Erstarrung

Benutzer1379857

Erstarrung

Benutzer1379857

Erstarrung

Benutzer1379857

Erstarrung

Erstarrung

Benutzer1379857

Erstarrung

youpilat13

Joigus

Joigus

Eigenwerte des Produkts von 2 hermitischen Operatoren [geschlossen]

Helfen Sie beim Verständnis von Beweisen in der simultanen Diagonalisierung

Stationäre Wellen als Eigenfunktionen des Hamiltonoperators im Grundzustand des Wasserstoffatoms

Show Eigenwert hängt nicht von der magnetischen Quantenzahl mmm ab

Kann jemand klären, was ein Operator in meiner Überprüfung der 1D-Lösung für das SE für ein freies Teilchen sein sollte und was nicht?

Quantenzustandsdarstellung mit Pendeloperatoren

Ist der Erwartungswert immer ein Eigenwert?

Wie führt Nichtkommutativität zu Unsicherheit?

Gibt es einen einfachen Ausdruck für [x,eixp][x,eixp][x,e^{ixp}]?

Hilfe beim Vereinfachen einer Kommutatorgleichung