Helfen Sie beim Verständnis von Beweisen in der simultanen Diagonalisierung

Beachten Sie, dass er oben erklärt: "Betrachten Sie zuerst den Fall, in dem mindestens einer der Operatoren nicht entartet ist, dh zu einem gegebenen Eigenwert gibt es nur einen Eigenvektor bis zu einer Skala." Er verwendet also die Annahme, dass der Operator nicht entartet ist, und die Definition der Nichtentartung (oder eine Aussage, die der Definition der Nichtentartung entspricht, wenn Sie eine andere Definition verwenden).

Der Ausdruck "zu einem gegebenen Eigenwert gibt es nur einen Eigenvektor bis zu einer Skala" bedeutet, dass zwei beliebige Eigenvektoren denselben Eigenwert haben$\omega_i$bis zu einem Faktor zusammenfallen. Dann$\lambda_i$ist so ein Faktor.

Wenn$\lambda_1$ein Eigenwert einer Matrix und ist$v_1$Und$v_2$die Komponenten des zugehörigen Eigenvektors sind, dann gilt:

$\begin{pmatrix} a-\lambda_1 & b \\ c &d-\lambda_1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Wenn Sie nun den Eigenvektor hochskalieren (z. B. um drei), sieht er so aus:

$\begin{pmatrix} a-\lambda_1 & b \\ c &d-\lambda_1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3v_1 \\ 3v_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Dies können Sie als schreiben

$3 \begin{pmatrix} a-\lambda_1 & b \\ c &d-\lambda_1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Aber die Matrix multipliziert mit dem Eigenvektor ergibt immer noch den Nullvektor!

Das meinte er, als er sagte: "Da dieser Vektor bis zu einer Skala eindeutig ist.": Jeder hochskalierte Eigenvektor einer Matrix ist immer noch ein Eigenvektor. Und wie folgt daraus die letzte Gleichung?

Wenn du schreibst

oder

Da der Vektor$\Lambda | \omega_i \rangle$hat den gleichen Eigenwert wie$| \omega_i \rangle$, muss es sich im selben invarianten Unterraum wie befinden$| \omega_i \rangle$, die Shankar für eindimensional hält.

Ich weiß nicht genau, was es mit Skalar bedeutet, aber denken Sie daran:

Ein Vektor$|\Psi\rangle$ist bis auf eine Phase invariant , weil eine globale Phase immer ausgeschlossen wird, wenn man z. B. mit dem Zustand rechnet$e^{i\theta}|\Psi\rangle$, der erwartete Wert von und beobachtbar$A$mit diesem Zustand ist

Das ist das gleiche Ergebnis, als ob Sie den Erwartungswert nur mit dem Vektor berechnen würden$|\Psi\rangle$. Für alle praktischen Zwecke können Sie also nur einen Zustand verwenden$|\Psi\rangle$in Ihrer Pointe Ihres Beweises.