Show Eigenwert hängt nicht von der magnetischen Quantenzahl mmm ab

Wir haben einen Skalaroperator A , invariant unter Drehungen, die mit dem Drehimpuls kommutieren, dh

[ A , J ich ] = 0  Wo  ich = X , j , z
[ A , J 2 ] = 0

Also Eigenfunktionen von A können so gewählt werden, dass sie Eigenfunktionen von sind J 2 Und J z . Ich kenne die entsprechenden Eigenwerte zu diesen Operatoren ℏ 2 J ( J + 1 ) Und ℏ M bzw.

Ich werde zeigen, dass die Eigenwerte von A hängen nicht von der magnetischen Quantenzahl ab M . Ich denke, das sollte wieder in die Richtung der Kommutatoren gehen, aber ich komme nicht weiter.

Etwas wie das:

Vermuten ψ sind Eigenfunktionen aller drei Operatoren und

A ψ = λ ψ
Wo λ = λ ( M ) und führt dies zu einem Widerspruch. Jede Hilfe geschätzt!

Schurs Lemma ...
Entschuldigung, aber ich bin noch nicht mit Gruppentheorie / Darstellungstheorie vertraut und habe dieses Lemma nie studiert. Gibt es keinen einfacheren Weg dorthin?
Die entscheidende Bemerkung ist, dass der Eigenraum fest ist J deren Basis durch die Eigenwerte von gekennzeichnet ist L z ist irreduzibel. Nach Schurs Lemma pendelt jede Matrix mit der L k ist ein Vielfaches der Identitätsmatrix ...
Ein weiterer Beweis, direkter, kann mit Hilfe der Leiteroperatoren erhalten werden: A pendelt mit ihnen...
@ValterMoretti Ihre Kommentare wären für viele Studenten sehr nützlich, wenn Sie sie zu einer klaren und gut geschriebenen Antwort erweitern könnten.
werde ich später machen
Warum verwenden Sie Fettschrift für einen Skalar und warum verwenden Sie inkonsistente Fettschrift für A? Hat die Verwendung von fett oder kursiv für diesen Operator eine Bedeutung? Wenn ja, muss dies explizit gemacht werden, wenn nicht, sollte die inkonsistente Notation entfernt werden.

Antworten (1)

Zunächst muss die Fragestellung präzisiert werden.

Der Hilbertraum H ist eine orthogonale direkte Summe der Eigenräume H J von J 2 :

(1) H = ⊕ J H J
wo offensichtlich
(2) J | H J = J ( J + 1 ) ICH .
Seit A Und J k pendeln mit J 2 , jeden H J ist invariant unter der Wirkung dieser Operatoren:
(3) A ( H J ) ⊂ H J , J k ( H J ) ⊂ H J .

Es ist klar, dass (1) und (3) dies implizieren A ist bekannt, vorausgesetzt, es ist in jedem Unterraum bekannt H J . Ich betrachte daher fortan die Einschränkungen A | H J Und J z | H J zu einem Generikum H J , angesichts H J als Hilbert-Raum der Theorie, obwohl ich die einfachere Notation verwenden werde A Und J J anstelle von A | H J Und J z | H J .

Seit A Und J z pendeln, es kann vorkommen, dass A = F ( J z ) für eine nicht konstante Funktion F . Mit anderen Worten, ein Eigenvektor | J , M ⟩ von J z mit Eigenwert M ist auch ein Eigenvektor von A mit Eigenwert F ( M ) für eine nicht konstante Funktion F .

Lassen Sie uns beweisen, dass die Funktion F ist eigentlich konstant. Dies ist die in eine präzisere Form geschriebene These.

Mit anderen Worten, A beschränkt auf H J ist von der Form C ICH .

Als L k pendelt mit A , A pendelt mit J ± die Linearkombinationen von sind J X Und J j und daher ab

A | J , − J ⟩ = F ( − J ) | J , − J ⟩
wir haben
J + A | J , − J ⟩ = F ( − J ) J + | J , − J ⟩
das ist
A J + | J , − J ⟩ = C J F ( − J ) | J , − J + 1 ⟩
nämlich
C J A | J , − J + 1 ⟩ = C J F ( − J ) | J , − J + 1 ⟩ .
Für einige nicht verschwinden C J , so dass
A | J , − J + 1 ⟩ = F ( − J ) | J , − J + 1 ⟩ .
Wiederholen der Operation (Suchen von Konstanten C M ≠ 0 ) wir bekommen
A | J , M ⟩ = F ( − J ) | J , M ⟩ Wenn  M = − J , − J + 1 , … , J .
Mit anderen Worten, schreiben Sie die Einschränkung explizit auf H J , da die Vektoren | J , M ⟩ bildet eine Grundlage von H J ,
A | H J = ∑ M F ( − J ) | J , M ⟩ ⟨ J , M | = F ( − J ) ICH .
In jedem Unterraum H J , A ist die Konstante A ICH Operator und diese Konstante kann abhängen J . Im gesamten Hilbertraum:
A = ∑ J , M A J | J , M ⟩ ⟨ J , M | = ⊕ J A J ICH J .

Tatsächlich haben wir die elementarste Version des Wigner-Eckart-Theorems aufgestellt.

Schön und einfach gemacht. Als technisches Detail, da im Allgemeinen die Aktion von J + An | J M ⟩ kommt drauf an M , wie Sie dies "beseitigen". M Abhängigkeit? dh A J + | J M ⟩ = F ( − J ) ( J − M ) ( J + M + 1 ) | J , M + 1 ⟩
Ja, sicher, aber diese Koeffizienten heben sich auf, da sie auf beiden Seiten erscheinen. Ich habe meinen Text unter Berücksichtigung dieser korrigiert.
Wow, vielen Dank. Eigentlich hätte mir der erste Teil, die Frage in präziser Form zu formulieren, vielleicht noch mehr geholfen als der zweite. Ich werde es jetzt ein paar Mal durchdenken und sehen, ob mir etwas nicht ganz klar ist. Beifall!
@ValterMoretti Richtig ... Ich dachte, Sie hätten (nicht normalisierte) Zustände verwenden können, die als definiert sind J + k | J , − J ⟩ ohne ausdrücklichen Hinweis darauf | J , − J + k ⟩ ohne Ihre Argumentation zu beeinflussen.
Nein, ich ziehe es vor, normalisierte Eigenvektoren zu verwenden, um die Standard-Spektralzerlegung zu erhalten ...
Show Eigenwert hängt nicht von der magnetischen Quantenzahl mmm ab
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