Übersetzungsoperator und Positionsbasis

Hier ist die logischste Vorgehensweise, wenn Sie mich fragen. Gegebenenfalls$a\in\mathbb R$, definieren wir den Übersetzungsoperator$T_a$durch seine Wirkung auf Positionsbasisvektoren

$$T_a|x\rangle = |x + a\rangle$$ Man kann folgende Eigenschaften beweisen:

1. $T_a$ist jeweils einheitlich$a\in\mathbb R$.

2. $T_aT_b = T_{a+b}$für alle$a,b\in\mathbb R$.

Daraus folgt (aus dem Theorem von Stone bis auf einige mathematische Details), dass es einen hermiteschen Operator gibt$K$wofür

$$T_a = e^{-iaK}$$ Der Betreiber $K$dessen Existenz auf diese Weise garantiert ist, wird als infinitesimaler Übersetzungsgenerator bezeichnet. Als nächstes wollen wir das zeigen $K$Und $X$bestimmte Vertauschungsbeziehungen haben. Dazu nehmen wir folgende Tatsache zur Kenntnis (siehe hier ) $$T_aXT_{-a} = e^{-iaK}Xe^{+iaK} = X - ia[K, X] + \mathcal O(a^2)$$ Wirkt nun mit beiden Seiten auf einen Ortseigenvektor $|x\rangle$gibt $$(x-a)|x\rangle = (x-ia[K,X])|x\rangle + \mathcal O(a^2)$$ und Gleichsetzung von Termen derselben Ordnung in $a$gibt $$[X,K] = iI$$ wie gewünscht.

Die Herleitung von Sakurai ist keineswegs mathematisch streng, daher sollten Sie etwas wie Ihre Argumentation zum Skalarprodukt erwarten. Tatsächlich haben wir alles mehr oder weniger in Ordnung, bis

$$[x,\mathcal{T}(\epsilon)]|z\rangle=\epsilon|z+\epsilon\rangle$$ wo wir ersetzen wollen $|z+\epsilon\rangle$von $|z\rangle$und behaupten, dass es in erster Linie in Ordnung ist $\epsilon$. Sobald Positionseigenzustände nicht normierbar sind, gibt es kein Maß für „Kleinheit“, das wir in unserer Argumentation über Ordnungen verwenden könnten. Was jedoch sinnvoll ist, ist abzuleiten $[x,\mathcal{T}(\epsilon)]=\epsilon\mathcal{T}(\epsilon)$, was für alle endlichen gilt $\epsilon$. Hier ist der Grund, warum alles gut funktioniert, das $\mathcal{T}$ist ein guter beschränkter (=kontinuierlicher) Operator, der auf dem gesamten Hilbert-Zustandsraum definiert ist und sogar auf verallgemeinerten Vektoren wie leicht verständlich ist $|x\rangle$. Wenn Sie in der Koordinatendarstellung arbeiten, können Sie diesen Kommutator tatsächlich nur mit normierbaren Wellenfunktionen ableiten, auf die die Wirkung von $x$definiert ist (sie bleiben nach dieser Aktion normalisierbar), was Ihrer Berechnung einen völlig strengen mathematischen Sinn verleiht.

Was ist anders, wenn Sie versuchen, mit Sakurai umzugehen$K$(was Sie jedes Mal versuchen, wenn Sie über Infinitesimalübersetzungen sprechen) rigoros ist, dass es sich um einen schlechten (unbegrenzten, unstetigen) Operator handelt. Tatsächlich, in gewissem Sinne,

$$K=i\left.\frac{d}{d\epsilon}\mathcal{T}(\epsilon)\right|_{\epsilon=0}.$$ Aber die einzige Möglichkeit, dieser Formel einen Sinn zu geben, besteht darin, die Wirkung von zu definieren $K$auf Staaten: $$K|\psi\rangle=i\lim_{\epsilon\to0}\frac{\mathcal{T}(\epsilon)|\psi\rangle-|\psi\rangle}{\epsilon}$$ Aber diese Grenze existiert nur für bestimmte gute Zustände, von denen wir sagen, dass sie im Bereich von liegen $K$. In der Tat, wenn Sie sich das ansehen $K$in der koordinate rep ist es eben $-i\frac{d}{dx}$, die auf dem (überall dichten) Unterraum differenzierbarer Funktionen des Raums definiert ist $L_2$von quadratintegrierbaren Funktionen. Wenn Sie damit umgehen $K$Man muss sich konsequent auf den Bereich von beschränken $K$(Zum Beispiel, wenn Sie die Antwort von Joshphysics in Betracht ziehen, wo jede Formel mit $K$auf die Domäne beschränkt ist, ist es fast ein rigoroser Beweis).

Allerdings aus irgendeinem Grund, der sicherlich damit zusammenhängt, dass die Domain$D(K)$von$K$ist überall dicht – jeder Zustand kann durch einen Zustand angenähert werden$D(K)$zu jeder gewünschten Genauigkeit, eine nachlässige Behandlung wie die von Sakurai funktioniert.