Was ist der allgemeinste Ausdruck für die Koordinatendarstellung des Impulsoperators?

Question

Was ist der allgemeinste Ausdruck für die Koordinatendarstellung des Impulsoperators?

Physik
Schwung
Betreiber
Kommutator
Quantenmechanik
Dirac-Delta-Verteilungen

Benutzer26143

Ich habe eine Frage zur Ableitung der Koordinatendarstellung des Impulsoperators aus der kanonischen Kommutierungsbeziehung.

[X, P] = ich .

$[x,p]= i.$

Eine Ableitung (siehe W. Greiner's Quantum Mechanics: An Introduction, 4. Aufl., S. 442) lautet wie folgt:

⟨ X | [X, P] | j ⟩ = ⟨ X | X P - P X | j ⟩ = (X - j) ⟨ X | P | j ⟩ .

⟨ x | [x, p] | y ⟩ = i ⟨ x | y ⟩ = i δ (x - y)

$\langle x|[x,p]|y \rangle = i \langle x|y \rangle = i \delta (x-y)$ . Daher

\begin{matrix} (1) & (X - j) ⟨ X | P | j ⟩ = ich δ (X - j) . \end{matrix}

$(x-y) \langle x|p|y \rangle = i \delta(x-y). \tag{1}$

Wir gebrauchen $(x-y) \delta(x-y) = 0$ . Bilden Sie die Ableitung nach $x$ ; wir haben $\delta(x-y) + (x-y) \delta'(x-y) = 0$ . Daher

\begin{matrix} (2) & (X - j) δ^{'} (X - j) = - δ (X - j) . \end{matrix}

$(x-y) \delta'(x-y) = - \delta(x-y). \tag{2}$

Vergleich von Gl. (1) und (2) identifizieren wir

\begin{matrix} (3) & ⟨ X | P | j ⟩ = - ich δ^{'} (X - j) . \end{matrix}

$\langle x|p|y \rangle = -i \delta'(x-y). \tag{3}$

Darüber hinaus können wir hinzufügen $\alpha \delta(x-y)$ auf der rechten Seite von Gl. (3), dh

⟨ X | P | j ⟩ = - ich δ^{'} (X - j) + a δ (X - j),

$\langle x|p|y \rangle = -i \delta'(x-y) + \alpha \delta(x-y),$ Und

[x, p] = i

$[x,p] = i$ ist immer noch zufrieden. Wir können auch hinzufügen

\frac{β}{\sqrt{| X - j |}} δ (X - j)

$\frac{\beta}{\sqrt{|x-y|}}\delta(x-y)$ auf der rechten Seite von Gl. (3). Hier

α

$\alpha$ Und

β

$\beta$ sind zwei reelle Zahlen.

Meine Frage ist, was ist der allgemeinste Ausdruck von $\langle x|p|y \rangle$ ? Können wir den zusätzlichen Term immer in einen Phasenfaktor absorbieren, wie es Diracs Quantenmechanik-Buch tat?

QMechaniker

Siehe auch: physical.stackexchange.com/q/53252/2451 und darin enthaltene Links.

Benutzer26143

Danke für den Link! Aus dem obigen Link scheint

\frac{β}{\sqrt{| x - y |}} δ (x - y)

$\frac{ \beta}{ \sqrt{|x-y|}} \delta(x-y)$ ist im Ursprung schlecht definiert. Trotzdem schließen wir diese Möglichkeit aus, wie findet man den allgemeinsten Ausdruck des Koordinatenausdrucks des Impulsoperators? Vielleicht fehlt es einfach an Vorstellungskraft, dass es etwas anderes als gibt

α δ (x - y)

$\alpha \delta(x-y)$ .

α (x - y)^{n} δ (x - y)

$\alpha (x-y)^n \delta(x-y)$ ,

n > 0

$n>0$ zählt nicht, da

α (x - y)^{n} δ (x - y) = 0

$\alpha (x-y)^n \delta(x-y)=0$ .

Antworten (2)

Was ist der allgemeinste Ausdruck für die Koordinatendarstellung des Impulsoperators?

Siehe auch: physical.stackexchange.com/q/53252/2451 und darin enthaltene Links.
Danke für den Link! Aus dem obigen Link scheint $\frac{ \beta}{ \sqrt{|x-y|}} \delta(x-y)$ ist im Ursprung schlecht definiert. Trotzdem schließen wir diese Möglichkeit aus, wie findet man den allgemeinsten Ausdruck des Koordinatenausdrucks des Impulsoperators? Vielleicht fehlt es einfach an Vorstellungskraft, dass es etwas anderes als gibt $\alpha \delta(x-y)$ . $\alpha (x-y)^n \delta(x-y)$ , $n>0$ zählt nicht, da $\alpha (x-y)^n \delta(x-y)=0$ .

QMechaniker · Answer 1

Wir beginnen mit der Erwähnung einiger Standardformeln

\begin{matrix} (1) & ψ (X) = ⟨ X | ψ ⟩, \end{matrix}

$\psi(x)~=~\langle x | \psi \rangle, \tag{1}$

Und

\begin{matrix} (2) & ⟨ X | j ⟩ = δ (X - j) . \end{matrix}

$\langle x | y \rangle ~=~\delta(x-y).\tag{2}$

Die kanonische Kommutierungsrelation (CCR) ist

\begin{matrix} (3) & [\hat{X}, \hat{P}] = ich ℏ 1 . \end{matrix}

$[\hat{x}, \hat{p}] ~=~i\hbar{\bf 1}.\tag{3}$

Die Standard-Schrödinger-Positionsdarstellung lautet

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} \hat{X} = & X, \\ \hat{P} = & - ich ℏ \frac{\partial}{\partial X} . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} \hat{x}~=~&x, \cr \hat{p}~=~&-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}.\end{align}\tag{4}$

Wir können die Standard-Schrödinger-Positionsdarstellung (4) durch einen unitären Operator konjugieren $\hat{U}=e^{-if(\hat{x})}$ , Wo $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ist eine gegebene differenzierbare Funktion. Auf diese Weise erhalten wir eine einheitliche äquivalente Positionsdarstellung

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} \hat{X} = & X, \\ \hat{P} = & - ich ℏ e^{- ich F (X)} \frac{\partial}{\partial X} e^{ich F (X)} \\ = & - ich ℏ \frac{\partial}{\partial X} + ℏ F^{'} (X), \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align}\hat{x}~=~&x, \cr \hat{p} ~=~&-i\hbar e^{-if(x)}\frac{\partial}{\partial x}e^{if(x)}\cr ~=~&-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}+ \hbar f^{\prime}(x),\end{align}\tag{5}$

der CCR (3). Der Standard-Schrödinger-Positionsdarstellung (4) entspricht $f\equiv {\rm const}$ . Für eine allgemeine irreduzible Darstellung des CCR (3) siehe das Stone-von-Neumann-Theorem .

Die Darstellung (5) impliziert

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} ⟨ X | \hat{P} | ψ ⟩ = & (\hat{P} ψ) (X) \\ = & - ich ℏ e^{- ich F (X)} (e^{ich F} ψ)^{'} (X) \\ = & - ich ℏ ψ^{'} (X) + ℏ F^{'} (X) ψ (X) . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} \langle x | \hat{p} |\psi \rangle~=~&(\hat {p} \psi)(x)\cr ~=~&-i\hbar e^{-if(x)}(e^{if}\psi)^{\prime}(x)\cr ~=~&-i\hbar\psi^{\prime}(x)+ \hbar f^{\prime}(x)\psi(x). \end{align}\tag{6}$

Aus (6) schließen wir, dass die Elemente der Impulsmatrix lautet

\begin{matrix} (7) & ⟨ X | \hat{P} | j ⟩ = - ich ℏ δ^{'} (X - j) + ℏ F^{'} (X) δ (X - j) \end{matrix}

$\langle x | \hat{p} |y \rangle~=~-i\hbar\delta^{\prime}(x-y)+ \hbar f^{\prime}(x)\delta(x-y)\tag{7}$

in der Darstellung (5).

Schließlich sind hier und hier zwei weitere Phys.SE-Posts, die ebenfalls Mehrdeutigkeiten in diskutieren $x\leftrightarrow p$ überlappt.

Trimok · Answer 2

In Einheiten $\hbar=1$ , aus $\langle p|p' \rangle = \delta(p-p')$ Und $\langle x|p \rangle = \frac {1}{\sqrt{2 \pi}}e^{i px}$ , du erhältst :

$\langle x|\hat p|y \rangle = \int_{|p>,|p'>} \langle x|p\rangle \langle p|\hat p|p'\rangle \langle p'|y\rangle = \frac {1}{2 \pi} \int_{|p>,|p'>} e^{ipx} p' \langle p|p' \rangle e^{-ip'y}$ $= \frac {1}{2 \pi} \int dp~ p ~e^{ip(x-y)} = - i\partial_x \frac {1}{2 \pi}\int dp~ e^{ip (x - y)} = -i\delta'(x-y)$

$\langle x | p \rangle = \frac{1}{2\pi} e ^{ipx}$ kommt von $\hat{p}= - i\frac{ \partial}{\partial x}$

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