Heisenberg EOM für ⟨x⟩⟨x⟩\langle x \rangle im Impuls-Eigenzustand - wo ist mein Fehler?

Question

Heisenberg EOM für ⟨x⟩⟨x⟩\langle x \rangle im Impuls-Eigenzustand - wo ist mein Fehler?

Allan Kane

Bewegungsgleichung für Erwartungswert eines Quantenteilchens im Impuls-Eigenzustand:

\frac{D}{D T} ⟨ X ⟩ = \frac{1}{ich H} ⟨ [X, H] ⟩

$\frac{d}{dt} \langle x \rangle = \frac{1}{i h} \langle [x,H] \rangle$

und da es sich in einem Impuls-Eigenzustand befindet,

\frac{1}{ich H} ⟨ [X, H] ⟩ = \frac{1}{ich H} ⟨ P | [X, H] | P ⟩

$\frac{1}{i h} \langle [x,H] \rangle = \frac{1}{i h} \langle p \vert [x,H] \vert p \rangle$

Diese erweitern,

\frac{1}{ich H} ⟨ P | (X \frac{P^{2}}{2 M} + X v (X)) - (\frac{P^{2}}{2 M} X + v (X) X) | P ⟩ = \frac{1}{ich H} (\frac{P^{2}}{2 M} - \frac{P^{2}}{2 M}) ⟨ P | X | P ⟩ + \frac{1}{ich H} ⟨ P | [X, v (X)] | P ⟩ = 0

$\frac{1}{i h} \langle p \vert (x \frac{p^2}{2m} + xV(x)) - (\frac{p^2}{2m}x + V(x)x)\vert p \rangle = \frac{1}{i h} (\frac{p^2}{2m} - \frac{p^2}{2m}) \langle p \vert x \vert p \rangle + \frac{1}{i h} \langle p \vert[x,V(x)] \vert p \rangle = 0$

seit $V$ Ist $V(x)$ . Aber $\frac{d}{dt}\langle x \rangle = \frac{p}{m}$ . Wo ist mein Fehler?

Mut

Beachten Sie, dass

\hat{p}

$\hat p$ ein Operator ist, können Sie ihn nicht wie eine Variable verwenden

Robin Ekmann

Hinweis: Was ist

⟨ p | x | p ⟩

$\langle p | x | p \rangle$ ?

QMechaniker

Mögliche Duplikate: physical.stackexchange.com/q/14116/2451 und Links darin.

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Heisenberg EOM für ⟨x⟩⟨x⟩\langle x \rangle im Impuls-Eigenzustand - wo ist mein Fehler?

Beachten Sie, dass $\hat p$ ein Operator ist, können Sie ihn nicht wie eine Variable verwenden
Mögliche Duplikate: physical.stackexchange.com/q/14116/2451 und Links darin.

Robin Ekmann · Answer 1

Nun, Sie wissen, dass die Eigenfunktion von $\hat p$ Ist $\exp(ipx)$ , versuchen wir also herauszufinden, was der Erwartungswert ist $x$ ist zu Beginn:

⟨ P | X | P ⟩ = \int \exp (- ich P X) X \exp (ich P X) D X = \int X D X

$\langle p | x | p\rangle = \int \exp(-ipx) x \exp(ipx) \, dx = \int x\, dx$ und dieses Integral existiert nicht . Dann sollte es nicht überraschen, dass der Versuch, die Zeitableitung zu nehmen, Unsinn ergibt. Der zugrunde liegende Grund ist das

\exp (i p x)

$\exp(ipx)$ ist nicht normalisierbar. Diese Antwort auf eine ähnliche Frage enthält weitere Einzelheiten zur Lösung dieses Problems.

Danke! das hat den nagel auf den kopf getroffen. <x'|p|x''>=ih delta(x'-x'')/(x'-x''), was meine Verwirrung beseitigt (und mit der Form des Impulsoperators in der Positionsbasis übereinstimmt). da delta(x)/x= - d delta(x)/dx

Andri Magalich · Answer 2

Update : Kommentare von Robin wiesen auf meine Verwirrung hin.

Folgendes berücksichtigen:

[X, P^{2}] = X P P - P P X = X P P - P X P + P X P - P P X = [X, P] P + P [X, P] = 2 ich H P

$[x, p^2] = x p p - p p x = x p p - p x p + p x p - p p x = [x,p] p + p [x,p] = 2 i h p$

Wenn Sie dies in den Anfangsausdruck einfügen, erhalten Sie genau das, was Sie von dieser Observable erwarten würden: $p/m$ .

Aber formal korrekte Manipulationen, die Sie vorgenommen haben, liefern eine andere Antwort und zeigen, dass etwas nicht stimmt. Die Schlussfolgerung finden Sie in Robins Antwort.

Ursprüngliche falsche Antwort:

Sie können den Impulsterm nicht außerhalb des Durchschnitts nehmen – Impuls p ist ein Operator, der nicht mit x pendelt.

-1: Da der Zustand ein Eigenzustand von ist $\hat p$ , können Sie ersetzen $\hat p$ mit dem Eigenwert $p$ (wirkt nach links auf den BH und nach rechts auf die Ket).
Nein, ich glaube, das kannst du nicht. Ihrer Logik folgend gilt Folgendes: $\langle x p \rangle = \langle x \rangle p$ und daher $\langle [x,p] \rangle = 0$ .
Sie müssen sicherstellen, dass alle beteiligten Größen tatsächlich vorhanden sind, siehe hier physical.stackexchange.com/q/14116/2451
Aber ich kann die richtige Antwort bekommen, wenn ich die Kommutierungsbeziehung von x und p verwende, das ist verwirrend
@RobinEkman Ich habe meine Antwort aktualisiert, um weitere Verwirrung zu vermeiden. Ich habe eine Frage an Sie: Macht es überhaupt Sinn, die Evolution der $\langle x \rangle$ ? Wenn ich es vermeide, diesen Ausdruck auf der rechten Seite auszuwerten, erhalte ich eine physikalisch gute Antwort. Aber wir haben mindestens 2 Möglichkeiten, Unsinn zu bekommen (deine und die in der Frage oben)

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