Mathematisches Verständnis der Quantenmechanik

Ja, Operatoren in der Quantenmechanik können grundsätzlich als unendliche Matrizen verstanden werden,$|r\rangle$als Basisvektoren und$\psi(r)\equiv \langle\psi|r\rangle \sim \psi_r \sim "\psi_i"$als durch einen fortlaufenden Index nummerierte Komponenten des Zustandsvektors$r$.$\langle r|F|r'\rangle$tatsächlich nur Matrixkomponenten des Operators sind$F$.

Allgemein$\langle r|F|r'\rangle \neq f \delta(r-r')$. Im Falle$\langle r|F|r'\rangle = f \delta(r-r')$du würdest haben$\phi(r) = f \psi(r)$, dh$F$wäre gerecht$f$mal Identität auf dem erwähnten Vektorraum.

Wenn Sie einen hermiteschen Operator haben, der mit dem Positionsoperator pendelt$R$, dh$[F,R]=0$es hat die gleichen Eigenvektoren wie$R$und wird somit diagonal in der sein$|r\rangle$Eigenvektorbasis. (Hermitizität stellt sicher, dass Eigenräume nicht entartet sind.) Dies alles ist eine einfache Erweiterung dessen, was Sie aus der linearen Algebra wissen sollten. In diesem Fall haben Sie$\langle r|F|r'\rangle = f(r) \delta(r-r')$, Wo$f(r_0)$ist der Eigenwert eines Vektors$|r_0\rangle$.

Sie können aber auch andere Operatoren haben. Betrachten Sie einen Übersetzungsoperator$T_a$was macht$T_a|r\rangle = |r + a\rangle$. Offensichtlich$\langle r|T_a|r'\rangle = \delta(r-r'-a)$. Es gibt kein allgemeines Rezept für die Suche$\langle r|F|r'\rangle$, denn es hängt alles davon ab, was$F$repräsentiert. Vom Verlangen$F$um etwas Physikalisches wie Impuls oder Position darzustellen, können Sie in der Regel durch bestimmte Verfahren auf Ihre Basis ableiten, wie es sich verhalten soll. (Mir gefällt, wie dies in Kapitel 3 von Ballentines Quantum Mechanics gemacht wird )

Sie können sich noch einmal daran erinnern, dass es keine Möglichkeit gibt, Matrixkoeffizienten zu kennen, ohne zumindest zu wissen, was die Matrix tut - und bei den meisten Problemen werden Ihnen die Koeffizienten nur auf einer bestimmten Basis als Definition der Matrix selbst gegeben. In diesem Fall werden Ihnen die Koeffizienten oder Wirkungen der Matrix normalerweise "durch die Physik" gegeben - es handelt sich nicht um ein ausschließlich mathematisches Problem.

Was Sie gesagt haben, dass jeder Operator in der Positionsdarstellung als ganzzahliger Operator dargestellt werden kann, gilt in gewissem Sinne für viele Operatoren nur dann, wenn Sie die Verwendung von Verteilungen zulassen, und obwohl dies nicht immer der Fall ist.

Sie bringen etwas Verwirrung, wenn Sie über die dualen Verteilungen sprechen. Was eine Verteilung ist, ist die Darstellung von$|r\rangle$, der kein Vektor des Hilbertraums ist$\mathcal{H}$, das ist$\langle x |r\rangle=\delta(r-x)$. Das Problem bei der Verwendung dieser Notation ist, dass es ihr an Strenge mangelt und dass Sie manchmal in Schwierigkeiten geraten können, wenn Sie nicht aufpassen.

Was im Allgemeinen schwierig sein kann, ist, die Positionsdarstellung eines Operators zu finden. Nehmen Sie zum Beispiel den kostenlosen Propagator$U(t)=e^{-itH}$, mit$H=-\Delta$der freie Hamiltonianer zu sein. Das kann man zeigen

$$U\psi(x)=(e^{-itH}\psi)(x)=\frac{1}{\sqrt {4\pi it}}\int_\Bbb{R} e^{i\frac{(x-y)^2}{4t}}\psi(y)dy,$$ was das zeigt $U(t)$kann als Integraloperator in Positionsdarstellung mit Kernel dargestellt werden $K(x)=\dfrac{1}{\sqrt {4\pi it}}e^{i\frac{x^2}{4t}}$. Eine Möglichkeit, die Darstellung von zu finden $F$ist, die Basis zu ändern, wo der Operator ein Multiplikationsoperator ist. Dies ist immer möglich, wenn $F=f(T)$, Wo $f$ist eine messbare Funktion und $T$ist ein selbstadjungierter Operator. In diesem Fall besagt das Spektraltheorem dies $$F=\int_\Bbb{R} f(t)dP^T(t),$$ Wo $P^T$ist die Auflösung der Identität von $T$. In der Praxis ist es möglich zu schreiben $F=U^{-1}fU$, Wo $U$ist die einheitliche Abbildung, die die Positionsdarstellung auf die Basis wo abbildet $T$ist ein Diagonaloperator. Zum Beispiel, wenn $T=P$, also der Impulsoperator $U=\mathcal{F}$ist die Fourier-Transformation. Wenn Sie also die Positionsdarstellung einer Funktion finden möchten $F=f(P)$Sie können wie folgt vorgehen: $$(F\psi)(x)=(\mathcal{F}^{-1}f(p)\mathcal{F}\psi)(x)=\frac{1}{2\pi}\int e^{ipx}\left(f(p)\int e^{-ipy}\psi(y)dy\right)dp=\int K(x,y)\psi(y)dy,$$ mit $$K(x,y)=\frac{1}{2\pi}\int e^{-ip(x-y)}f(p)dp$$ Der letzte Schritt ist formal, denn um die Integrationsreihenfolge zu ändern, müssen die Integrale existieren, und das ist nicht immer der Fall, und Sie erhalten möglicherweise Verteilungen, wie dies der Fall ist, wenn $f(p)\in \mathcal{S}'(\Bbb{R})$, das ist $f$ist eine temperierte Verteilung . ZB nehmen $F=P$, das ist $f(p)=p$, wir finden $K(x,y)=i\delta'(x-y)$. Aber wenn Sie zum Beispiel nehmen $f(p)=e^p$, der Kern $K(x,y)$ist nicht einmal im Sinne temperierter Verteilungen definiert, obwohl der Operator $F=\exp(P)$ist für eine dichte Domäne wohldefiniert.

Leider bin ich mir nicht so sicher, was ⟨r|F|r′⟩ ist ... um diesen Erwartungswert zu bewerten

es ist keine Erwartung, es ist ein Matrixelement ; Betrachten Sie es als die Komponenten des Operators$F$auf Positionsbasis.

Wenn der Operator auf der Positionsbasis "diagonal" ist, dann$\langle r|F|r' \rangle$Null ist, außer wenn$r = r'$.

Also zum Beispiel wenn$F = R$ist dann der Positionsoperator

$$\langle r|R|r' \rangle = r'\delta(r - r')$$

und dann

$$\phi(r) = r\psi(r)$$

Betrachten Sie nun den Fall, dass$F$Das Arbeiten mit einem Positionseigenzustand gibt eine Summe von zwei Positionseigenzuständen zurück:

$$F|r'\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|r' + 1\rangle + |r' - 1\rangle\right)$$

Dann

$$\langle r|F|r' \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\delta(r' - 1 - r) + \delta(r' + 1 - r)\right)$$

und dann

$$\phi(r) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\psi(r+1) + \psi(r-1)\right)$$