Legt die kanonische Kommutierungsrelation die Form des Impulsoperators fest?

Sie haben bereits "praktische" Antworten erhalten, daher beabsichtige ich, aus einem anderen Blickwinkel zu antworten.

Es gibt einen ziemlich berühmten Satz von Stone und von Neumann, der später von Mackay und schließlich von Dixmier und Nelson verbessert wurde und ungefähr das folgende Ergebnis in der elementarsten Version festlegt. (Eine andere Version des Theorems konzentriert sich auf die einheitlichen Gruppen, die von erzeugt werden$X$und$P$Um Probleme mit Domains zu vermeiden, bleibe ich hier jedoch bei der selbstadjungierten Operatorversion.)

SATZ. (grobe Aussage "für Physiker") Wenn Sie ein paar selbstadjungierte Operatoren haben$X$und$P$auf einem Hilbert-Raum definiert$H$solche, die miteinander konjugiert sind:

(Die rigorose Aussage in dieser Nelson-ähnlichen Version lautet wie folgt

SATZ. Lassen$X$und$P$ein Paar selbstadjungierter Operatoren auf einem komplexen Hilbertraum sein$H$so dass (a) sie (1) auf einem gemeinsamen invarianten dichten Unterraum verifizieren$S\subset H$, (b)$X^2+P^2$ist im Wesentlichen selbstadjungiert on$S$und (c) alle Vektoren in$S$sind zyklisch für$X$und$P$. Dann existiert ein unitärer Operator$U : L^2(\mathbb R, dx)\to H$so dass (2) gelten für$\psi \in C_0^{\infty}(\mathbb R)$.

Beachten Sie, dass die auf der rechten Seite von (2) definierten Operatoren eindeutige selbstadjungierte Erweiterungen zulassen, sodass sie die Operatoren, die die jeweiligen Observablen darstellen, vollständig festlegen. Wir können gleichermaßen ersetzen$C_0^\infty(\mathbb R)$für den Schwartzraum${\cal S}(\mathbb R)$in der letzten Aussage.)

Abgesehen von technischen Details bedeutet dies, dass Kommutierungsbeziehungen tatsächlich Positions- und Impulsobservable sowie den Hilbert-Raum festlegen. Zum Beispiel unter Bezugnahme auf die Antwort von Murod Abdukhakimov, wenn die Hinzufügung von$\partial f$zu den Standardausdrücken von$X$und$P$führt zu wirklich selbstadjungierten Operatoren, dann zu einer einheitlichen Transformation (nur das Verbinden$\psi$zu$\psi'$in der Antwort von Murod Abdukhakimov) beseitigt die Deformation und stellt den Standardausdruck wieder her. Denken Sie daran, dass einheitliche Transformationen nicht alle physischen Objekte der QM verändern.

Das Ergebnis erstreckt sich auf$\mathbb R^n$, dh bezüglich Teilchen im Raum für$n=3$. Wegfallen der Irreduzibilitätsforderung hält die These aber trotzdem$H$in eine direkte Summe (nicht direktes Integral!) abgeschlossener Teilräume zerlegen, in denen die starke Aussage gilt.

Aus diesem fundamentalen Theorem ergeben sich wichtige Konsequenzen. Zunächst$H$muss als trennbar sein$L^2(\mathbb R,dx)$ist. Außerdem kein Zeitoperator$T$(konjugiert mit dem Hamiltonoperator$H$) existiert, wenn der Hamilton-Operator nach unten beschränkt ist, wie es die Physik erfordert. Die letztere Aussage ist darauf zurückzuführen, dass der Satz die Spektren von festlegt$X$und$P$wie die ganzen realen Achsen in beiden Fällen, so dass das Spektrum von$H$wäre nicht nach unten begrenzt, wenn$T,H$waren ein konjugiertes Paar von Operatoren. Ein ähnliches No-Go-Theorem ergibt sich bezüglich der Quantisierung eines Teilchens auf einem Kreis, wenn man versucht, selbstadjungierte Positions- und Impulsoperatoren zu definieren. Der Versuch, diese No-Go-Ergebnisse zu lösen, führte zu einer allgemeineren Formulierung der Quantenmechanik auf der Grundlage des Begriffs POVM und erwies sich schließlich als sehr nützlich in anderen Kontexten wie der Quanteninformationstheorie.

Eine wichtige Beobachtung ist, dass das Ergebnis von Stone-von Neumann - MacKay - Dixmier -Nelson versagt, wenn es um unendlich dimensionale Systeme geht. Das heißt, grob gesagt, der Übergang vom (symplektischen Raum) einer endlichen Anzahl von Teilchen zum (symplektischen Raum) eines Feldes. In diesem Fall gelten die kanonischen Vertauschungsrelationen von$X_i$und$P_j$werden durch die der Quantenfelder ersetzt. Z.B:,

oder anspruchsvollere Versionen davon. An dieser Stelle gibt es unendlich viele Darstellungen der Algebra von Observablen, die nicht durch einheitliche Operatoren verbunden werden können. Dies ist ein bekanntes Phänomen in der QFT oder der statistischen Quantenmechanik (im thermodynamischen Limit). Zum Beispiel können die freie Theorie und die Wechselwirkungstheorie eines gegebenen Quantenfelds nicht im selben Hilbert-Raum dargestellt werden, sobald man Standardanforderungen an Zustände und Observablen annimmt (das sogenannte Haagsche Theorem, und dies ist der Hauptgrund, warum der LSZ-Formalismus die schwache Topologie verwendet statt der starken wie in der Standard-Quantentheorie der Streuung).

Wenn man Superselektionsladungen in die Algebra der Observablen einbezieht, entstehen automatisch nicht einheitlich äquivalente Darstellungen der Algebra, die zu Sektoren führen.

In der QFT in gekrümmter Raumzeit ist das Auftreten inäquivalenter Darstellungen der Algebra von Observablen ein recht häufiges Phänomen aufgrund der Anwesenheit von Krümmung der Raumzeit.

Nein. Sie können eine beliebige konstante Verschiebung (oder einen beliebigen Operator, der mit pendelt) hinzufügen$x$) ohne Auswirkungen auf die CCR.

Für 1-dimensionale QM ist die allgemeine Lösung des CCR mit$\hat x$dargestellt als Multiplikation mit$x$auf Wellenfunktionen mit Argument$x$ist$\hat p=\hat p_0-A(\hat x)~~$, wo$\hat p_0$ist der kanonische Impulsoperator , und$A(x)$ist eine beliebige Funktion von$x$.
Nachweisen. Der Unterschied$\hat A:=\hat p_0-\hat p~$pendelt mit$\hat x$, ist also eine Funktion von$\hat x$.

Im allgemeineren Fall könnte es sein:

$p_x = -ih\frac{∂}{∂x}+\frac{∂f}{∂x}$

$p_y = -ih\frac{∂}{∂y}+\frac{∂f}{∂y}$

$p_z = -ih\frac{∂}{∂z}+\frac{∂f}{∂z}$

wo$f(x,y,z)$- willkürliche Funktion.

Sie können aber auch die Wellenfunktion ersetzen$\psi'=e^{-\frac{i}{h}f(x,y,z)}\psi$was Sie zurück zur traditionellen Form bringt.

Sieht aus wie eine Messgerät-Transformation, nicht wahr?