Gibt es einen plausiblen Grund für die Existenz konjugierter Variablen in der Quantenmechanik?

Das ist vielleicht nicht das, wonach Sie suchen, aber so würde ich vorgehen:

Wie Sie sagten, wird die Zeitentwicklung von einem einheitlichen Operator getragen$\hat{U} (\Delta t)$dessen Generator der Hamiltonoperator ist$\hat{H}$, dh$\hat{U}(\Delta t) = e^{-i\hat{H}\Delta t/\hbar}$, Und$\hat{U}(\Delta t) \vert \psi (t) \rangle = \vert \psi (t+\Delta t) \rangle$. Der Hamiltonoperator ist somit definiert als der Operator, dessen Wirkung auf die Darstellung$\vert \psi \rangle$eines Teilchens ist infinitesimale Zeitverschiebung$\hat{H} \vert \psi \rangle = i \hbar \frac{d}{dt} \vert \psi \rangle$.

Ähnlich wie bei der Zeitentwicklung kann ich einen einheitlichen Operator definieren$\hat{U}(\Delta x)$dessen Wirkung darin besteht, ein Teilchen um die Entfernung zu verschieben$\Delta x$im$x$-Richtung. Schwung in der$x$-direction ist somit als Generator dieses einheitlichen Operators definiert und muss hermitesch sein:$\hat{U} (\Delta x) = e^{i \hat{p}\Delta x / \hbar }$. Da \hat{p} hermitesch ist, hat es eine Eigenbasis$\hat{p} \vert p \rangle = p \vert p \rangle$,$p \in \mathbb{R}$. Aus dem Superpositionsprinzip kann ich aus den Impuls-Eigenzuständen einen anderen Zustand erstellen als:$\vert \Delta x \rangle := \int \frac{dp}{2 \pi \hbar} \hat{U}(\Delta x)\vert p \rangle = \int \frac{dp}{2 \pi \hbar} e^{ip\Delta x}\vert p \rangle$. Dies erlaubt mir, einen Positionsoperator als zu konstruieren$\hat{x} := \int d \Delta x \, \Delta x \vert \Delta x \rangle \langle \Delta x \vert$.

Durch diese Definitionen erhalten wir die Kommutierungsbeziehungen$[\hat{x},\hat{p}] = i \hbar \mathbb{1}$. Daher wird jede Quantentheorie mit einheitlichen Darstellungen räumlicher Translationen kanonisch konjugierte Orts- und Impulsoperatoren haben.

Diese Definition des Impulses als Operator der infinitesimalen räumlichen Verschiebung erscheint mir sowohl in der Quanten- als auch in der klassischen Physik am natürlichsten: im Lagrange-Formalismus Impuls$p = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}$ist die der Symmetrie zugeordnete Erhaltungsladung$x \rightarrow x + \Delta x$der Aktion. Im Hamiltonschen Formalismus definiert Impuls einen Operator, dessen Wirkung auf eine Phasenraumfunktion$F(x,p)$ist durch die Poisson-Klammer gegeben$\{ F, p \} = \frac{\partial F}{\partial x}$, das ist die Wirkung auf$F$der infinitesimalen Verschiebung in$x$.

Das bringt mich zu Ihrer zweiten Frage: " Warum brauchen wir für jede Observable, die wir betrachten, eine konjugierte Variable? " Im Allgemeinen stehen konjugierte Variablen in derselben Beziehung wie Zeit und Energie: Eine Variable definiert eine Transformation des Systems ( oft eine Symmetrie), und der andere definiert den Generator dieser Transformation (und die erhaltene Ladung im Fall einer Symmetrie). In diesem Sinne: Energie erzeugt Zeitverschiebung, Impuls erzeugt Raumverschiebung, der Zahlenoperator (oder Ladungsoperator in der relativistischen QFT) erzeugt Phasenrotation$\hat{\Psi} \rightarrow e^{i \alpha} \hat{\Psi}$($\hat{\Psi}$bezeichnet hier einen Quantenfeldoperator in zweiter Quantisierung oder relativistischer QFT) und so weiter$^*$. Darüber hinaus haben einige der konjugierten Variablen, die eine Transformation definieren, keine entsprechenden Observablen/hermiteschen Operatoren$^{**}$, wie Zeit und Phase, daher ist es nicht immer hilfreich, konjugierte Variablen als kanonisch pendelnde Observablen zu betrachten.

Um fortzufahren: Für konjugierte Variablen erzeugt das Gegenstück des Impulses eine infinitesimale Änderung seiner konjugierten "Koordinate". Die Einheitlichkeit von QM impliziert, dass endliche Änderungen in der „Koordinaten“-Variablen durch einheitliche Operatoren dargestellt werden müssen, deren hermitescher Generator die „Impuls“-Variable ist. Dies definiert die Eigenzustände der "Impuls"-Variablen, und die Wirkung der einheitlichen "Koordinaten"-Änderungen auf letztere führt zu den Unsicherheitsrelationen. Insbesondere wenn die "Koordinate" eine entsprechende Observable & Eigenbasis hat, sind die beiden Observablen durch kanonische Kommutierungsbeziehungen verbunden.

$^*$Da die Phase mehrwertig ist ($\phi \equiv \phi + 2 \pi n$), ist es schwierig, eine allgemeine und rigorose Ladungs-Phasen- oder Teilchenzahl-Phasen-Unschärferelation anzugeben, die über die naive Ungleichung hinausgeht$\Delta N \Delta \phi \geq 1/2$. Dennoch wird dieses Konzept häufig bei der Untersuchung kohärenter Zustände von Vielteilchensystemen (Kondensaten) verwendet, die den "Phasen-Eigenzuständen" am nächsten kommen, wie hier im Zusammenhang mit der Quantenoptik diskutiert.

$^{**}$ Dieser Thread diskutiert die Möglichkeit eines Zeitoperators, und dieser Übersichtsartikel behandelt die Versuche, einen Phasenoperator zu definieren.