Plausibilität der Weyl-Beziehungen von Ort und Impuls - Physikalische Bedeutung der Heisenberg-Gruppe

Ich bin mir nicht sicher, was für QM als zufriedenstellende Intuition gilt oder nicht. Weyl schätzte in seiner Arbeit von 1927 , dass Heisenbergs Lie-Algebra zu einer Gruppe potenzieren sollte, die von Übersetzungen und Positionen einer Uhr mit n Stunden, dem Spielzeugarchetyp von Hilbertraum und nahm die Grenze von unendlichen Stunden mit einer geeigneten Skalierung – die „falsche“ Skalierung würde net$SU(\infty)$, also Poisson-Klammern und klassische Mechanik, nicht der QM-Hilbert-Raum, dessen Bewegungen hier untersucht werden.

Ich kann die "einfach so"-Falle nicht vermeiden, aber lassen Sie mich versuchen, die Fakten zu ordnen, in der Hoffnung, dass sich ihre Reflexionen voneinander schärfen könnten.

Als Rädelsführer der 20er-Gruppenpest-Anklage untersuchte Weyl die Gruppe, die sich aus der Potenzierung der Lie-Algebra ergibt,

$$[\hat x, \hat p]=i\hbar ,$$ so mit generischen einheitlichen Gruppenelementen $$e^{it\hat x + is\hat p+i\hbar u} = e^{i(u+st\hbar/2) } e^{it\hat x} e^ {is\hat p } ,$$ mit den ausreichenden gleichnamigen Flechtbeziehungen (Gruppenelement-Multiplikationsidentitäten, (26) in Weyl op.cit.), an denen Sie interessiert sind, $$e^{it\hat x} e^ {is\hat p } = e^{-its\hbar} e^ {is\hat p } e^{it\hat x} .$$ (Ausreichend in dem Sinne, dass ihre Differenzierung bzgl. s und t und das Setzen dieser Parameter und u gleich 0, Abweichung vom Ursprung, die Kommutierungsbeziehung der Lie-Algebra abruft.) Diese Identitäten, einfache Konsequenzen der CBH-Kompositionsregeln der Heisenberg-Algebra, umfassen alles, was Sie wissen müssen, um Gruppenaktionen auf QM-Vektoren zu bewerten. Die beiden gewählten Gruppenelemente genügen, um das gesamte Phasenraumverhalten der Quantenmechanik zu spezifizieren.

Sie wirken einheitlich auf Funktionen, zB von x , as

$$e^ {is\hat p } \psi(x)= \psi(x+\hbar s) ,$$ der Lagrange-Schichtoperator , (51) in Weyl. Beispielsweise würde die konservierte Noether-Ladung in einer translationssymmetrischen Theorie diesen Impulssymmetriegenerator ergeben.

Eine weniger bekannte Aktion ist die des Uhrenablesens, (50) in Weyl,

$$e^ {it\hat x } \psi(x)= e^{itx} \psi(x),$$ und natürlich die ständige Umphasung von iu durch das zentrale Element.

Auf dieser Ebene habe ich wirklich nicht viel Intuition für letzteres, abgesehen von Weyls ursprünglichem "behold!" Analogie in seinem Abschnitt 8 zur endlichen Uhrenmatrix $\Sigma_3$von Sylvester (1882), eine diagonale Matrix mit einer konstanten Phase in jedem Eintrag, die ihre Phase ordinal erhöht. Sie könnten an eine Uhr mit potenzierten Stundenphasen denken. Der Übersetzungsoperator ist natürlich$\Sigma_1$, die Verschiebungsmatrix um eine Stunde. In einer sorgfältigen Grenze von unendlichen Stunden gewinnt man seine Operatoren zurück, und die Logarithmen dieser Operatoren (ja, es gibt eine geniale Methode, sie zu nehmen), erhalten die Heisenberg-Algebra durch ein berühmtes Argument von Santhanam & Tekumalla 1976 ; pure Magie: Die spurlose rechte Seite wird zur spurlosen Klassenidentität! Aber das ist eine ganz andere faszinierende Frage.

Ich glaube, Weyl hat diese Intuition immer geschätzt (er schwärmte davon in seinem oben verlinkten Buch), und sie hat mir in einigen logischen Zwickmühlen wirklich geholfen ... Sie können es versuchen, oder auch nicht ...