Kollaps der Wellenfunktion auf ihre Eigenfunktion bei der Messung

Wir stellen den Kollaps einer Wellenfunktion durch diese Gleichung dar,$\hat{A} \phi = a \phi$.

Das ist nicht wahr.$\hat{A}\phi=a\phi$ist die Eigenwertgleichung des Operators$A$. Es sagt einfach, dass die Aktion des Bedieners$\hat{A}$auf seinem Eigenvektor$\phi$gibt$a\phi$Wo$a$ist der zugehörige Eigenwert.

Der Ausdruck „Aktion des Betreibers$\hat{A}$auf einen Staat$|\psi\rangle$" kann verwirrend sein. Es bedeutet nicht den physikalischen Akt des Messens der mit dem Bediener verbundenen Observablen$\hat{A}$. Es bedeutet einfach die mathematische Operation, den gegebenen Zustandsvektor mit dem besagten Operator zu multiplizieren.

Sie erwarten jedoch zu Recht, dass eine Messung einer beobachtbaren Größe mit dem Operator verbunden ist$\hat{A}$auf den Staat$|\psi\rangle$sollte irgendwie dargestellt werden! Also, wie stellen wir es dar? Nun, wir können keine Gleichung aufschreiben, die uns das Endergebnis der Messung eines Operators an einem Zustand mitteilt, da das Ergebnis einer Messung in der Quantenmechanik grundsätzlich probabilistisch ist! Wenn wir etwas aufschreiben würden, wäre es keine Überraschung, was das Ergebnis der besagten Messung wäre, oder? ;)

Wir können jedoch einige Dinge über den Vorgang des Messens aufschreiben. Wir sagen, dass die Messung eines Operators$\hat{A}$auf einen Staat$|\psi\rangle$ergibt einen Eigenzustand$|\phi_a\rangle$des Betreibers$\hat{A}$mit Wahrscheinlichkeit$|\langle \phi_a |\psi\rangle|^2$. Wie schreiben wir einen Prozess auf, der den Zustand annimmt$|\psi\rangle$zum Staat$|\phi_a\rangle$? Ganz einfach, Sie projizieren den Staat$|\psi\rangle$auf den Eigenzustand$|\phi_a\rangle$mit dem Projektionsoperator$\mathbb{P}_a=|\phi_a\rangle\langle \phi_a|$. Dies ist das gesuchte Objekt. Siehst du,$\mathbb{P}_a|\psi\rangle=|\phi_a\rangle\langle \phi_a|\psi\rangle$was gerecht ist$|\phi_a\rangle$bis zur Normalisierung.

Das sollten Sie jedoch beachten$\mathbb{P}_a$ist auch nicht genau der Operator, der den Vorgang der Messung beschreibt (abgesehen von der Frage der Normierung), weil es offensichtlich nicht sicher ist, dass die Messung unseren Anfangszustand in den Eigenzustand kollabieren lässt$|\phi_a\rangle$. Es kann es auch in einen anderen Eigenzustand von kollabieren$\hat{A}$, sagen$|\phi_b\rangle$und wenn das passiert, dann würde dieser Prozess durch die Aktion von beschrieben werden$\mathbb{P}_b$An$|\psi\rangle$. Wir können also sagen, dass der Prozess der Messung durch die Aktion des Projektionsoperators beschrieben wird$\mathbb{P}_a$auf den Staat$|\psi\rangle$mit Wahrscheinlichkeit$|\langle\phi_a|\psi\rangle|^2$.

Endlich gibt es eine sehr schöne Möglichkeit, das Ergebnis einer Messung zu beschreiben, die Sie sich noch nicht angesehen haben! Lassen Sie mich erklären, was ich meine. Da der Messvorgang grundsätzlich probabilistisch ist, können wir natürlich den genauen Zustand unseres Systems nach der Messung nicht aufschreiben. Aber wenn wir die Messung durchgeführt haben, aber das Ergebnis noch nicht betrachtet haben, können wir sagen, dass sich unser System im Eigenzustand befindet$|\phi_a\rangle$mit Wahrscheinlichkeit$|\langle \phi_a|\psi\rangle|^2$. Und wir haben ein mathematisches Objekt, um ein solches System zu beschreiben, für das wir die Wahrscheinlichkeiten kennen, sich in verschiedenen Zuständen zu befinden. Sie wird als Dichtematrix bezeichnet. Die Dichtematrix eines Systems, das sich in einem Zustand befinden kann$|\lambda_n\rangle$mit Wahrscheinlichkeit$p_n$wird von gegeben

Zusammenfassend lässt sich der Messvorgang also auf zwei Arten beschreiben.

• Sie können die Messung von sagen$\hat{A}$An$|\psi\rangle$gibt$\mathbb{P}_a|\psi\rangle$(bis auf Normalisierung) mit einer Wahrscheinlichkeit$|\langle\phi_a|\psi\rangle|^2$.
• Wenn Sie die Messung durchgeführt, aber das Ergebnis nicht angesehen haben, können Sie sagen, dass die Messung von$\hat{A}$An$|\psi\rangle$hat uns ein System gegeben, das durch die Dichtematrix beschrieben wird$\hat{\rho}_\hat{A}=\sum_a \langle \psi|\mathbb{P}_a|\psi\rangle \mathbb{P}_a$.

Eine Messung des Beobachtbaren$A$wird nicht durch Anwendung des Operators dargestellt$A$zur Wellenfunktion. Der Übergang von$\psi$Zu$\phi$(d. h. die Beobachtung) kann nicht durch einen linearen Operator dargestellt werden, weil es nicht einmal eine Funktion ist! Wie wir wissen, das Besondere$\phi$Sie erhalten, ist zufällig, daher ist es nicht möglich, eine mathematische Funktion zu haben, die Ihnen sagt, welchen Zustand Sie erhalten.

Was Ihre Gleichung jedoch aussagt, ist, dass Sie die Messung durchführen und den Wert beobachten$a$, der Staat$\phi$nach der messung wird zufrieden stellen$A\phi = a\phi$. Die Quantität$A\psi$ist hier nicht sehr relevant.

Sie haben das Messproblem in der Quantenmechanik entdeckt, und die Tatsache, dass die Zeitentwicklung nicht durch die gezeigte Operatorgleichung beschrieben wird.

Dies führte Everett zu der Interpretation der Vielen Welt; Inzwischen in der bekannteren Kopenhagener Interpretation sagt Wikipedia:

"Das Problem [Kollaps] wird durch die Kopenhagener Interpretation abgelenkt, die postuliert, dass dies ein besonderes Merkmal des "Mess"-Prozesses ist."

Eine vollständige Überprüfung aller Interpretationen würde den Rahmen dieser Antwort sprengen, aber es genügt zu sagen: Ihr Einwand ist begründet.