Wie muss man sich das Konzept einer Eigenfunktion in der Quantenmechanik vorstellen?

Ich habe heute einige Probleme durchgearbeitet und bin auf dieses gestoßen:

Stellen Sie sich ein Teilchen in einem unendlich tiefen Potential-„Well“ vor. Das heißt: v ( X ) = 0 für − A / 2 < X < A / 2 Und v ( X ) = ∞ irgendwo anders.

Zeigen Sie, dass die Funktionen ψ N ( X ) = A N cos ⁡ ( N π X / A ) sind Eigenfunktionen und bestimmen den Eigenwert.

Was ich bisher über Eigenfunktionen zu wissen glaubte, ist, dass jede Eigenfunktion eines Operators einfach eine Funktion ist F damit der Operator ( v ^ ) in diesem Fall gibt die Arbeit an dieser Funktion ein skalares Vielfaches der Funktion zurück:

v ^ F = λ F .
Aber wenn Sie das hier versuchen, funktioniert das nicht. Seit A N ist nur eine Konstante, und cos ⁡ ( N π X / A ) wird zwangsläufig irgendwo ungleich Null sein X > A / 2 , gibt es keine Möglichkeit, einen "schönen" Kosinus zurückzubekommen; nicht einmal mit Eigenwert λ = 0 .

Meine Frage lautet also: Irgendwo in meiner Argumentation muss ich einen Fehler machen, und ich vermute, dass dies damit zu tun hat, wie ich Eigenfunktionen betrachte. Angenommen, wie sollte ich sie stattdessen betrachten?

Ihre Interpretation ist in Ordnung, Sie verwenden nur den falschen Operator. Es fragt Sie nach Energieeigenfunktionen, also Eigenfunktionen des Hamilton-Operators.
Woran erkenne ich, dass eine Energieeigenfunktion gemeint ist?
Ja, die Frage war etwas schlampig geschrieben. Aber in der QM ist eine der allgemeinsten Fragen: Ich habe ein Potential, was sind die Eigenfunktionen des Hamiltonoperators mit diesem Potential? Wenn wir diese kennen, erfahren wir zB etwas über Energieniveaus und später darüber, wie sich diese Zustände mit der Zeit entwickeln. Kurz gesagt, die Eigenfunktionen des Hamilton-Operators sind von großer Bedeutung, also habe ich vermutet, dass sie danach fragen.

Antworten (1)

Die Sprache des von Ihnen zitierten Versatzstücks lässt zu wünschen übrig. Für jemanden mit einer vernünftigen Beherrschung von QM ist klar, was die Absicht war, aber es ist immer noch zweideutig formuliert, und der Autor ist für jede daraus resultierende Verwirrung verantwortlich.

Um es deutlich zu machen, bittet Sie das Zitat zu zeigen, dass die gegebene Wellenfunktion eine Eigenfunktion des Hamilton-Operators ist , dh des Operators

H = − ℏ 2 2 M D 2 D X 2 + v ( X ) ,
für das gegebene Potenzial. Dies wird durch den Kontext impliziert, aber es wird nicht explizit ausgesprochen (wobei dies ein oder zwei zusätzliche Wörter gekostet hätte).

Allerdings ist die Wellenfunktion, die Sie erhalten haben, tatsächlich eine Eigenfunktion des potentiellen Operators v ^ , denn für alle X im Konfigurationsbereich [ − A / 2 , A / 2 ] du hast

v ( X ) ψ ( X ) = 0 = 0 ψ ( X ) ,
dh die Wellenfunktion kehrt zu sich selbst multipliziert mit dem Eigenwert zurück λ = 0 .

Insbesondere die Aufgabe leistet keine gute Arbeit, wenn es darum geht, nur den Konfigurationsraum vorzuschlagen [ − A / 2 , A / 2 ] .
Wie muss man sich das Konzept einer Eigenfunktion in der Quantenmechanik vorstellen?
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