Schrödinger-Gleichung in Ortsdarstellung

Question

Schrödinger-Gleichung in Ortsdarstellung

Wilde Katze

Wir gehen von einem abstrakten Zustandsvektor aus $\newcommand{\ket}[1]{|{#1}\rangle} \ket{\Psi}$ als Beschreibung eines Zustands eines Systems und der Schrödinger-Gleichung in der folgenden Form

ich ℏ \frac{d}{d t} | Ψ (t) ⟩ = \hat{H} | Ψ (t) ⟩ . (1)

$\DeclareMathOperator{\dif}{d \!} \newcommand{\ramuno}{\mathrm{i}} \newcommand{\exponent}{\mathrm{e}} \newcommand{\bra}[1]{\langle{#1}|} \newcommand{\braket}[2]{\langle{#1}|{#2}\rangle} \newcommand{\bracket}[3]{\langle{#1}|{#2}|{#3}\rangle} \newcommand{\linop}[1]{\hat{#1}} \newcommand{\dpd}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \newcommand{\dod}[2]{\frac{\dif{#1}}{\dif{#2}}} \ramuno \hbar \dod{}{t} \ket{\Psi(t)} = \hat{H} \ket{\Psi(t)} \, . \quad (1)$

Wenn wir nun zur Positionsdarstellung des Zustandsvektors übergehen, was passiert mit der Schrödinger-Gleichung?

In Mathematics for Quantum Mechanics: An Introductory Survey of Operators, Eigenvalues And Linear Vector Spaces von John David Jackson fand ich die folgenden Informationen (S. 77-78).

Indem man ein inneres Produkt beider Seiten von (1) mit nimmt $\ket{x}$ und Verwenden der Identitätsauflösung $\linop{I} = \int\nolimits_{-\infty}^{+\infty} \ket{x'} \bra{x'} \dif{x'}$ auf der rechten Seite erhalten wir

ich ℏ \frac{d}{d t} ⟨ x | Ψ (t) ⟩ = \int_{- \infty}^{+ \infty} ⟨ x | \hat{H} | x^{'} ⟩ ⟨ x^{'} | Ψ (t) ⟩ d x^{'} .

$\ramuno \hbar \dod{}{t} \braket{x}{\Psi(t)} = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \bracket{ x }{ \linop{H} }{ x' } \braket{ x' }{ \Psi(t) } \dif{x'} \, .$ Wir führen dann eine Wellenfunktion ein

Ψ (x, t) \equiv ⟨ x | Ψ (t) ⟩

$\Psi(x,t) \equiv \braket{x}{\Psi(t)}$ und wenn ich das richtig verstehe

⟨ x | \hat{H} | x^{'} ⟩

$\bracket{ x }{ \linop{H} }{ x' }$ wird ebenfalls durch eine Funktion ersetzt

h (x, x^{'})

$h(x, x')$ was uns zu führen wird

ich ℏ \frac{d}{d t} Ψ (x, t) = \int_{- \infty}^{+ \infty} h (x, x^{'}) Ψ (x^{'}, t) d x^{'} .

$\ramuno \hbar \dod{}{t} \Psi(x, t) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} h(x, x') \Psi(x', t) \dif{x'} \, .$ Jetzt sind wir einen Schritt von der bekannten Schrödinger-Gleichung in der Ortsdarstellung entfernt: Wir brauchen den Hamilton-Operator in der Ortsdarstellung

\hat{H} (x, \frac{ℏ}{i} \frac{d}{d x})

$\linop{H}(x, \frac{\hbar}{\ramuno} \dod{}{x})$ von gegeben werden

\hat{H} (x, \frac{ℏ}{ich} \frac{d}{d x}) Ψ (x, t) = \int_{- \infty}^{+ \infty} h (x, x^{'}) Ψ (x^{'}, t) d x^{'} .

$\linop{H}(x, \frac{\hbar}{\ramuno} \dod{}{x}) \Psi(x, t) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} h(x, x') \Psi(x', t) \dif{x'} \, .$

Autor behauptet (S. 44), dass

Für unsere Zwecke der allgemeine lineare Operator $K$ kann in expliziter Form geschrieben werden
$g = K f \to g (x) = \int_{a}^{b} k (x, x^{'}) f (x^{'}) d x^{'} (2)$ $g = K f \rightarrow g(x) = \int\limits_{a}^{b} k(x,x') f(x') \dif{x'} \quad(2)$ Die Funktion $k(x,x')$ heißt der Kern des Operators $K$ .

Es ist nicht so, dass ich dem Autor nicht traue, aber da meine mathematischen Kenntnisse nicht groß sind und ich so etwas wie (2) noch nie gesehen habe, bin ich mit diesem "für unsere Zwecke" verwirrt.

Was bedeutet es eigentlich? Gilt (2) für jeden linearen Operator oder für eine bestimmte Art von linearen Operatoren, sagen wir für selbstadjungierte lineare Operatoren auf Hilbert-Räumen?

Antworten (2)

Schrödinger-Gleichung in Ortsdarstellung

JoshPhysik · Answer 1

Lassen Sie mich zunächst sagen, dass ich denke, dass Tobias Kienzler großartige Arbeit geleistet hat, um die Intuition hinter Ihrer Frage beim Übergang von endlichen zu unendlichen Dimensionen zu diskutieren.

Ich werde stattdessen versuchen, den mathematischen Inhalt von Jacksons Aussagen anzusprechen. Mein Grundanspruch wird das sein

Unabhängig davon, ob Sie in endlichen oder unendlichen Dimensionen arbeiten, das Schreiben der Schrödinger-Gleichung auf einer bestimmten Basis beinhaltet nur das Erstellen von Definitionen .

Um dies klar zu sehen, ohne sich um mögliche mathematische Feinheiten kümmern zu müssen, lassen Sie uns zunächst überlegen

Endliche Dimension

In diesem Fall können wir sicher sein, dass eine orthonormale Basis existiert $\{|n\rangle\}_{n=1, \dots N}$ für den Hilbertraum $\mathcal H$ . Jetzt für jeden Zustand $|\psi(t)\rangle$ wir definieren die sogenannten Matrixelemente des Zustands und des Hamilton-Operators wie folgt:

\begin{aligned} ψ_{n} (t) = ⟨ n | ψ (t) ⟩, H_{m n} = ⟨ m | H | n ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} \psi_n(t) = \langle n|\psi(t)\rangle, \qquad H_{mn} = \langle m|H|n\rangle \end{align}$ Nimm nun das innere Produkt beider Seiten der Schrödinger-Gleichung mit

⟨ m |

$\langle m|$ , und verwenden Sie die Linearität des Skalarprodukts und der Ableitung, um zu schreiben

\begin{aligned} ⟨ m | \frac{d}{d t} | ψ (t) ⟩ = \frac{d}{d t} ⟨ m | ψ (t) ⟩ = \frac{d ψ_{m}}{d t} (t) \end{aligned}

$\begin{align} \langle m|\frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle=\frac{d}{dt}\langle m|\psi(t)\rangle=\frac{d\psi_m}{dt}(t) \end{align}$ Die Tatsache, dass unsere Basis orthonormal ist, sagt uns, dass wir die Auflösung der Einrückung haben

\begin{aligned} ich = \sum_{m = 1}^{N} | m ⟩ ⟨ m | \end{aligned}

$\begin{align} I = \sum_{m=1}^N|m\rangle\langle m| \end{align}$ Damit nach der Einnahme das innere Produkt mit

⟨ m |

$\langle m|$ , kann die Schreibhandseite von Schrödingers Gleichung wie folgt geschrieben werden:

\begin{aligned} ⟨ m | H | ψ (t) ⟩ = \sum_{m = 1}^{N} ⟨ n | H | m ⟩ ⟨ m | ψ (t) ⟩ = \sum_{m = 1}^{N} H_{n m} ψ_{m} (t) \end{aligned}

$\begin{align} \langle m|H|\psi(t)\rangle = \sum_{m=1}^N\langle n|H|m\rangle\langle m|\psi(t)\rangle = \sum_{m=1}^N H_{nm}\psi_m(t) \end{align}$ Wenn man dies alles gleichsetzt, ergibt sich die Schrödinger-Gleichung in der

{| n ⟩}

$\{|n\rangle\}$ Basis;

\begin{aligned} \frac{d ψ_{n}}{d t} (t) = \sum_{m = 1}^{N} H_{n m} ψ_{m} (t) \end{aligned}

$\begin{align} \frac{d\psi_n}{dt}(t) = \sum_{m=1}^NH_{nm}\psi_m(t) \end{align}$

Unendliche Dimension

Bei einer unendlichen Anzahl von Dimensionen können wir wählen, ob wir die Schrödinger-Gleichung entweder in einer diskreten (abzählbaren) Basis für den Hilbert-Raum schreiben möchten $\mathcal H$ , die es übrigens immer gibt, da quantenmechanische Hilberträume alle eine abzählbare, orthonormale Basis besitzen, oder wir können eine kontinuierliche „Basis“ wie die Position „Basis“ wählen, in der wir die Gleichung schreiben. Ich setze Basis hier in Anführungszeichen, weil die Ortsraum-Wellenfunktionen eigentlich keine Elemente des Hilbert-Raums sind, da sie keine quadratintegrierbaren Funktionen sind.

Bei einer abzählbaren Orthonormalbasis erfolgt die oben durchgeführte Berechnung zum Schreiben der Schodinger-Gleichung in eine Basis genauso mit der Ersetzung von $N$ mit $\infty$ überall.

Bei der „Basis“ $\{|x\rangle\rangle_{x\in\mathbb R}$ , die obige Berechnung wird fast genauso durchgeführt (wie Ihre Frage im Wesentlichen zeigt), außer dass sich die Definitionen, die wir am Anfang vorgenommen haben, geringfügig ändern. Insbesondere definieren wir Funktionen $\psi:\mathbb R^2\to\mathbb C$ und $h:\mathbb R^2\to\mathbb C$ von

\begin{aligned} ψ (x, t) = ⟨ x | ψ (t) ⟩, h (x, x^{'}) = ⟨ x | H | x^{'} ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} \psi(x,t) = \langle x|\psi(t)\rangle, \qquad h(x,x') = \langle x|H|x'\rangle \end{align}$ Dann folgt die Ortsraumdarstellung der Schrödinger-Gleichung, indem man das innere Produkt beider Seiten der Gleichung mit nimmt

⟨ x |

$\langle x|$ und Verwenden der Auflösung der Identität

\begin{aligned} ich = \int_{- \infty}^{\infty} d x^{'} | x^{'} ⟩ ⟨ x^{'} | \end{aligned}

$\begin{align} I = \int_{-\infty}^\infty dx'\, |x'\rangle\langle x'| \end{align}$ Die einzigen wirklichen mathematischen Feinheiten, um die Sie sich in diesem Fall kümmern müssen, sind, um welche Art von Objekten es sich bei den Symbolen handelt

| x ⟩

$|x\rangle$ darstellen (da sie nicht im Hilbertraum liegen) und in welchem Sinne man für solche Objekte eine Auflösung der Identität schreiben kann. Aber sobald Sie sich um diese Probleme gekümmert haben, ist die Umwandlung der Schrödinger-Gleichung in ihren Ausdruck in einer bestimmten "Darstellung" nur noch eine Frage der entsprechenden Definitionen.

Tobias Kenzler · Answer 2

Stellen Sie sich einen linearen Operator vor, indem Sie die Grenze einer unendlich großen Matrix mit diskreten Indizes auf eine mit kontinuierlichen "Indizes" namens Koordinaten setzen. $K$ würde die Matrix bezeichnen, während $k(x,x')$ ist das, was man schreibt $K_{x x'}$ für Matrizen. Wenn Sie den linearen Operator auf eine Funktion anwenden, ist das so, als würden Sie eine Matrix mit einem Vektor multiplizieren, nur dass Sie anstelle der Summierung über den diskreten zweiten Index jetzt über die kontinuierliche zweite Koordinate integrieren, dh $\sum_{x'}K_{x x'}f_{x'} \to \int dx'\, k(x,x')f(x')$ . Es gibt natürlich ein bisschen mehr, weil es von geht $\{1,2,3,...,n\}$ über $\mathbb N$ zu $\mathbb R$ da "index" einige mathematische Unordnung beinhaltet, aber in den meisten Fällen funktioniert es ohne besondere Überlegungen gut.

Schrödinger-Gleichung in Ortsdarstellung

Wilde Katze

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JoshPhysik

Tobias Kenzler

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