Implizites Postulat der Quantenmechanik

Betrachten Sie folgendes Quantensystem: ein Teilchen in einem eindimensionalen Kasten (= unendlicher Potentialtopf). Die Wellenfunktionen der Energieeigenzustände verschwinden alle außerhalb der Box. Aber die Positions-Eigenzustands-Wellenfunktionen verschwinden nicht alle außerhalb der Box. Jeder von ihnen ist eine Delta-Funktion an einer bestimmten Stelle, und einige dieser Stellen liegen außerhalb der Box. Es scheint also, dass es keine Überlappung zwischen bestimmten Ortseigenzuständen und allen Energieeigenzuständen gibt. Die Energieeigenzustände überspannen also nicht den gesamten Hilbertraum! Und diese Positionszustände haben eine null Wahrscheinlichkeit für irgendein Energieergebnis in einer Messung!

Nun, ich weiß, dass, wenn man von einem unendlichen Potentialtopf spricht, angenommen wird, dass sich das Teilchen nicht außerhalb des Topfes befinden kann. Aber ich sehe keinen Grund, dies aus den Postulaten der Quantenmechanik anzunehmen. Gibt es ein implizites zusätzliches Postulat, das besagt: "Der Hilbert-Raum des Systems wird von den Eigenzuständen des Hamilton-Operators (und nicht von anderen Operatoren wie Position) aufgespannt"? Oder ist das unendliche Potential gut nur ein schlecht definiertes System, weil es Unendlichkeiten enthält (genau wie freie Teilchen ...)?

Abgesehen von dem Problem der Kürzung zu einer Box ist es im Wesentlichen ein Duplikat dieses Phys.SE-Beitrags in dem Sinne, dass Positionseigenzustände nicht Teil des Hilbert-Raums sind.
@Qmechanic, ich verstehe nicht, warum es ein Duplikat ist. Kannst du bitte erklären?
@Qmechanic Ich denke, Lior hat Recht. "Abgesehen vom Kernpunkt der Frage ...". ;).
PS, ich weiß, meine Frage mag albern oder nicht der Diskussion wert erscheinen, weil es offensichtlich ist, was eine arbeitende Physikerin tun muss, wenn sie auf ein Teilchen in einer Kiste stößt, aber für mich ist die Tatsache, dass ich etwas tun muss, nicht davon abgeleitet postuliert, sondern auf "gesundem Menschenverstand" oder "Intuition" basiert, bedeutet, dass dieses Realitätsmodell (= physikalische Theorie) unvollständig ist.

Antworten (3)

Das Problem ist, dass Sie davon ausgehen, dass die Postulate der Quantenmechanik Systemen automatisch eine vollständige Positionsdarstellung zuweisen ... während einige Systeme (wie ein Teilchen mit Spin) eine solche Darstellung nicht haben.

Die Lösung besteht also darin, sich die Postulate der Quantenmechanik genau anzusehen. Es gibt eine Menge abstrakter - Zustände sind Strahlen im Hilbert-Raum, Observable sind hermitische Operatoren, die Existenz einer Hamiltonschen, normalen einheitlichen Evolution darunter, Wahrscheinlichkeiten sind Erwartungswerte, was passiert mit Messungen und so weiter - aber keiner davon sagt etwas aus Sie wissen , welcher Hilbert-Raum für welches physikalische System verwendet werden soll oder welche hermiteschen Operatoren Sie für Ihre speziellen physikalischen Observablen verwenden sollen.

Dafür braucht man zunächst viel körperliche Intuition, und man folgt einem allgemeinen Rezept, das mehr oder weniger so geht

Wenn das System eine klassische Darstellung hat, die eine kanonische symplektische Struktur mit Orts- und Impulskoordinaten enthält, die auf der gesamten reellen Linie definiert sind, und eine Poisson-Klammer, die erfüllt { X , P } = 1 , dann weisen Sie einen Hilbert-Raum-Tensorfaktor von zu L 2 ( R ) zu jeder Raumdimension mit Position als die X Operator und Impuls als solche und eine solche Ableitung.

und die als kanonische Quantisierung bekannt ist .

Beachten Sie einen wichtigen Vorbehalt in diesem Rezept: Es erfordert, dass die Position in einem unbegrenzten Intervall definiert wird. Wegen des Darstellungssatzes von Neumann , der die kanonischen Vertauschungsbeziehungen postuliert [ X , P ] = ich ℏ erfordert automatisch das Spektrum von beiden ( − ∞ , ∞ ) .

Dies ist ein sehr kniffliger Punkt, und sogar Dirac ist damit gestolpert: Er schlug eine Quantentheorie für die Phase eines harmonischen Oszillators vor (The Quantum Theory of the Emission and Absorption of Radiation. PAM Dirac. Proc. R. Soc. Lond . A 114 Nr. 767, S. 243–65 (1927) ), die sich schließlich als grundlegend fehlerhaft herausstellte. (Eine gute Quelle dafür ist wahrscheinlich R. Lynch, Phys. Rep. 256 , 367 (1995) , aber Elsevier scheint im Moment down zu sein.)

Das Fazit ist, dass Sie sich Ihr klassisches System ansehen müssen , bevor Sie entscheiden, wie Sie es quantisieren möchten. Beinhaltet das klassische System für ein Teilchen in einem unendlichen Schacht die Positionen außerhalb des Schachts? Wenn ja, welches Potenzial besteht dort? Er muss „sehr groß“ sein, da „unendlich“ kein gültiger Wert eines Operators ist (z v ^ | X ⟩ = ∞ | X ⟩ ∉ H )... und dann bist du wieder in einem endlichen Brunnen.

Wenn Ihr klassisches System keine Positionen außerhalb dieser Box enthält, müssen Sie vorsichtig sein, wie Ihr Quantensystem aussehen soll. Sie können Ihr Quantensystem definitiv nicht bitten, mehr als Ihr klassisches zu tun, daher sollten Positionszustände außerhalb der Box nicht Teil Ihres Hilbert-Raums sein. Auf einen Schlag behebt dies Ihr Problem: Energie-Eigenzustände werden den gesamten Hilbert-Raum überspannen.

Sie müssen immer noch entscheiden, welche Operatoren Sie für Impuls und Energie verwenden müssen, und die körperliche Intuition leistet hier normalerweise gute Dienste. Wenn Sie jedoch genau wissen wollen, warum wir Dinge so tun, wie wir sie tun, dann sollten Sie sich das klassische System als Anleitung zum Quantisieren ansehen. Zufälligerweise ist das klassische System nicht völlig störungsfrei, und alle Probleme, die Sie beim Quantisieren haben, haben Sie möglicherweise schon beim Betrachten des klassischen Systems gesehen! Für eine interessante Betrachtungsweise empfehle ich das Papier

Klassische Symptome von Quantenkrankheiten. Chengjun Zhu und John R. Klauder. Bin. J. Phys. 61 nr. 7, p. 605 (1993) .

Dazu gehört auch eine Erörterung genau dieses Problems am Ende von Abschnitt III.

Für ein klassisches Teilchen in einer Box mit endlichen, aber sehr hohen Wänden gibt es überhaupt keine Einschränkung, dass sich das Teilchen außerhalb der Box befindet. Die „outside-the-box“-Staaten sind den „in-the-box“-Staaten gleichgestellt. Natürlich erfordert ein Übergang zwischen ihnen viel Energie, wie uns die klassischen Bewegungsgleichungen sagen. Aber diese Zustände verschwinden keineswegs in dem Begrenzungsprozess, das Potential ins Unendliche zu bringen. Wenn ich also das System quantisiere, sollte ich nach Ihrer Argumentation diese Zustände verlassen.
@Lior Wenn Sie diese Zustände nach dem Begrenzungsprozess beibehalten, brechen Sie auch die klassische Mechanik. Sie haben einen undefinierten oder unendlichen Hamiltonian auf großen Teilen des Phasenraums. Wenn Sie möchten, dass Ihr qm gesund ist, müssen Sie mit klassischer Mechanik arbeiten, und das bedeutet, diese Zustände wegzuwerfen.
Ich bin nicht einverstanden. Für jeden endlichen Wert des Potenzials, selbst wenn er enorm ist, kann das klassische Teilchen außerhalb des Rahmens liegen. Wenn Sie also das Limit nehmen, kann es immer noch da sein. (Sie können auch immer alle Potentiale im System um eine Konstante verschieben). Wie auch immer, was ich aus Ihrer Erklärung verstehe, ist, dass ich nicht nach einem fehlenden Postulat suchen sollte, sondern nach einem Prinzip bei der Quantisierung des klassischen Systems.
@Lior Ja, Ihr letzter Kommentar ist richtig: Sie müssen die Postulate durch ein Quantisierungsverfahren ergänzen (oder zumindest ein Verfahren, um tatsächlich den richtigen Raum und die richtigen Operatoren zu finden). Sie irren sich jedoch, wenn Sie glauben, dass ein Verhalten, das bei endlichen Energien erlaubt ist, an der Grenze bestehen bleibt. Versuchen Sie, eine solche Mechanik zu konstruieren! Wie sehen dort die Hamilton-Gleichungen aus?
Definieren Sie eine Funktion e(V), in der V der Wert des Potentials ist und in der e(V) immer dann gleich 1 ist, wenn das klassische Teilchen außerhalb der Box existieren darf, und ansonsten gleich 0 ist. Für jeden Wert von V ist e(V)=1, daher ist e(V) die konstante Funktion 1. Durch Elementarrechnung ist lim e(V) = 1, wobei die Grenze für V auf unendlich gesetzt wird.
@Lior es ist leider nicht so einfach und Sie haben keine Garantie dafür, dass e (V) im Unendlichen stetig ist. (Versuchen Sie z. F ( X ) = 1 Wenn X ist endlich und 0, wenn sie unendlich ist.) Wenn Sie eine sinnvolle Hamilton-Mechanik in diesem Bereich konstruieren könnten (versuchen Sie es!), dann könnten Sie darüber sprechen, sie zu quantisieren.
@Lior: Bei unendlichem Potential ist der Hamiltonian nicht im gesamten Hilbert-Raum definiert (als Operator! - Sie können ihn aufschreiben, aber <s|H|s> ist nicht für viele Vektoren / Zustände im gesamten Hilbert-Raum definiert). war OK für das System mit endlichem Potential). Der Punkt ist: Der Grenzwertprozess hat keine physikalische Bedeutung: Er ist nur eine Möglichkeit, fundierte Vermutungen für die richtige Beschreibung einiger Systeme anzustellen.
Angenommen, Sie haben ein freies Quantenteilchen und schalten dann zum Zeitpunkt t ein Potential ein, das ein unendlicher Brunnen ist. Ich gehe nicht davon aus, dass sich das Teilchen vor dem Zeitpunkt t im Brunnen befindet - es kann oder auch nicht oder es kann sich in einer Überlagerung von Zuständen befinden. Was ist der Hilbert-Raum dieses Systems? Beinhaltet es Positionseigenzustände außerhalb des Brunnens? Alternativ können Sie davon ausgehen, dass Sie innerhalb einer endlichen Zeitspanne T das Potential kontinuierlich von null bis unendlich einschalten.
Wenn innerhalb einer endlichen Zeit T Sie schalten kontinuierlich ein Potential ein, das gegen unendlich divergiert, dann hat die Schrödinger-Gleichung keine Lösungen mehr. Dies ist aber wiederum auch in der klassischen Mechanik vorhanden, da das entsprechende klassische System ebenfalls keine globalen Lösungen für alle Anfangsbedingungen hat.
Wahrscheinlich der beste Weg, es auszudrücken: Es gibt kein V(x), wobei V außerhalb der Box unendlich ist. Man kann es einfach nicht im Sinne einer Standardanalyse aufschreiben. Der Begrenzungsprozess hat also keine Bedeutung. Auch der Ausdruck "unendlicher Potentialtopf" oder ähnliches hat innerhalb des mathematischen Formalismus keine Bedeutung. Es ist nur eine informelle Art, über eine physikalische Interpretation der Situation zu sprechen, die wir beschreiben möchten. Auch der Grenzwertprozess hat keine Bedeutung: Im Grenzwert konvergieren die Operatoren nicht. Und das war's: Es bleibt keine Frage mehr offen.
(Ich hoffe, Sie verlieren nicht die Geduld mit mir ...) Wenn also der unendliche Brunnen nicht das Ergebnis eines Begrenzungsprozesses ist (dh ich kann nicht sagen, dass er die Situation eines potenziellen Brunnens mit dem Wert modelliert). 10000^10000 eV), was könnte es modellieren? Und warum verlangen wir, dass die Wellenfunktion am Rand der Box Null ist, wenn es sinnlos ist zu sagen, dass das Potential dort drüben unendlich ist? Denken Sie daran, dass wir so das diskrete Spektrum des Systems bestimmen ...
@Lior: Hast du jemals einen unendlichen Potentialschacht gesehen? Es geht nur darum, ein völlig imaginäres Modelluniversum zu erstellen (in dem Dinge nur in einer Kiste existieren) in der (berechtigten) Hoffnung, dass das beschriebene / berechnete Verhalten irgendwie mit einer Gruppe realistischerer Systeme zusammenhängt, an denen Sie interessiert sind (z. B. tiefe Potenzialbrunnen). . Diese Hoffnung rührt hauptsächlich von (informellen) physikalischen Interpretationen des mathematischen Modells her. Ich bin mir fast sicher, dass man ein bestehendes mathematisches Modell (z. B.) durch eine nicht standardmäßige Analyse vervollständigen könnte, um den Begrenzungsprozess zu beschreiben, aber ich kenne niemanden, der das getan hat).
Ich bin jetzt hier raus: Es wiederholt sich. Aber danke für die interessante Frage. Hat mich ein bisschen über den Prozess der Erstellung physischer Modelle nachdenken lassen :-).

Mein Verständnis ist, dass bei verschiedenen Problemen in der Quantenmechanik der letzte Schritt darin besteht, den Hilbert-Raum auf physikalisch zulässige Zustände zu beschränken. Bei diesem Problem erfordert eine solche Beschränkung, dass der Zustand ausschließlich auf dem räumlichen Intervall gestützt wird, in dem das Potential endlich ist. Dies würde bedeuten, dass die Auflösung Ihres Paradoxons darin besteht, dass die Positionseigenzustände außerhalb dieses Intervalls nicht im Hilbert-Raum liegen.

Dies ist nicht das einzige Beispiel für eine solche Einschränkung. Beim harmonischen Oszillator gibt es eine ähnliche Einschränkung, dass wir unseren Hilbert-Raum auf Zustände beschränken, die schließlich bis zum Vakuum vernichtet werden können, und wir lehnen diejenigen ab, die beliebig abgesenkt werden können. In ähnlicher Weise stellen wir bei der Quantisierung des Vektorfelds fest, dass die nichtphysikalischen Freiheitsgrade Zustände der Nullnorm zulassen, um die Physikalität wiederherzustellen, und eine Theorie, die den entsprechenden Eichbedingungen gehorcht, lehnen wir diese ab.

Dieser Kommentar ist eher eine (ernste) Frage. Warum verwenden Sie die Quantenmechanik? vermutlich die ultimative Theorie der physikalischen Realität (zumindest in kleinen Maßstäben), um ein "Problem" zu diskutieren, bei dem es um eine ziemlich fiktive Sache geht; nämlich eine "eindimensionale Box oder ein unendlicher Potentialschacht". Welchen Zweck hat es, etwas zu diskutieren, das nie beobachtet wurde oder von dem bekannt ist, dass es nicht einmal existiert? Wie gesagt, es ist eine ernsthafte Frage.
Ich werde versuchen zu antworten, aber wenn Sie unzufrieden sind, kann es nützlich sein, weiter zu diskutieren. Wenn eine Theorie einen logischen Widerspruch enthält, dann ist sie nicht gültig und schon gar keine Theorie für alles. Es stimmt zwar, dass der Beweis im Pudding liegt und der ultimative Wert einer Theorie in ihrer Vorhersagekraft liegt, aber wir sollten auf auftretende Probleme achten, da ihre Lösung dazu beitragen kann, Entwicklungen zu lenken und uns vor wilden Gänsejagden zu bewahren. Was die Physikalität des Problems betrifft, glaube ich nicht, dass es eine erschreckende Annäherung an bestimmte physikalische Systeme ist, obwohl diese natürlich endlich sind.

Dies ist nur eine Frage der Wahl einer Basis für den Vektor(Hilbert)-Raum: Die Menge der Ortseigenzustände ist eine Basis, die Menge der Energieeigenzustände eine andere. Sie können in Bezug zueinander ausgedrückt werden (Vektoren/Zustände von Basis B1 können als Summe von Vektoren von Basis B2 ausgedrückt werden).

Alles in der Theorie der Vektorräume ...

OP sagte: "Aber der Punkt meiner Frage ist, dass für das Teilchen in der Box ein bestimmter Positionseigenzustand (jeder, der als Wellenfunktion ein Dirac-Delta außerhalb der Box hat) nicht in Form von Energieeigenzuständen ausgedrückt werden kann."

Ah, du hast recht, jetzt verstehe ich deine Frage. Ich denke, der Punkt ist, dass der Brunnen unendlich ist. Für einen endlichen Potentialtopf haben Sie immer "ungebundene" höhere Energiezustände, die verwendet werden können, um die Eigenvektoren außerhalb der Box zusammenzufassen. Im Falle eines unendlichen Brunnens haben diese Zustände eine unendliche Energie (ihre Energie geht ins Unendliche, wenn Sie den Energiebrunnen ins Unendliche wandern lassen). Auf diese Weise "verschwinden" sie gewissermaßen aus dem Modell. Aber: Wenn Sie dasselbe für die Positionseigenzustände akzeptieren (diese nur außerhalb der Box tropfen lassen), ist alles wieder in Ordnung: Sie haben "Universum" in einer Box (ein Universum, in dem die Koordinate per Design auf ein bestimmtes Intervall begrenzt ist) und wieder alle Positionen Eigenzustände können zum Aufbau von Energieeigenzuständen verwendet werden und umgekehrt.

Der Punkt meiner Frage ist jedoch, dass für das Teilchen in der Box ein bestimmter Positionseigenzustand (jeder, der als Wellenfunktion ein Dirac-Delta außerhalb der Box hat) nicht in Form von Energieeigenzuständen ausgedrückt werden kann.
@Lior: Ich habe meine Antwort in meine Antwort eingefügt. Dass man einen Teil der Psoitions-Eigenzustände wegwerfen muss, liegt meiner Meinung nach daran, dass [H,x] nicht mehr stimmen würde .
Und warum die negativen Stimmen?
Ich sehe, wie dieser Begrenzungsprozess, das Potential ins Unendliche zu bringen, die Energiewellenfunktionen außerhalb des Brunnens verschwinden lässt, aber ich sehe nicht, wie die Postulate oder der Begrenzungsprozess mich dazu bringen sollten, die Positionswellenfunktionen außerhalb des Brunnens aufzugeben.
@Lior: Nur um die "normale" Situation zu bekommen: Ein Hilbert-Raum, in dem die x-Eigenvektoren und die E-Eigenvektoren den gesamten Raum überspannen. Ich gebe zu, es scheint ziemlich ad hoc, einen Teil des Zustandsraums wegzuwerfen. Wenn wir es nicht tun, dann haben Sie Recht, dass die Hamiltonschen Eigenvektoren speziell werden. Dann ist die Situation so, dass es einen Hilbert-Raum gibt, aber nur ein Unterraum physikalischen Zuständen entspricht und dieser Unterraum von den Energie-Eigenvektoren aufgespannt wird. Das ist vielleicht auch gut - zu akzeptieren, dass der Hamiltonoperator in der QM (und auch in jeder dynamischen Theorie) tatsächlich etwas Besonderes ist.
Andere Möglichkeiten, dies zu betrachten: (1) Die Axiome sagen nicht, dass Sie Ihren Hilbert-Raum aus dem endlichen Fall durch einen kontinuierlichen Übergang erhalten können. Sie behaupten, dass es einen Hilbert-Raum gibt, der den Zustand des physikalischen Systems beschreibt. In diesem Fall ist es der Raum aller Funktionen, die außerhalb der Box Null sind.
Implizites Postulat der Quantenmechanik
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