Hilbertraum und Hamiltonoperatoren

Nehmen Sie ein System an, das durch einen Hamiltonian H beschrieben wird, und nehmen Sie an, dass die Eigenzustände von H, φ ich ( r ) sind im absoluten Quadrat integrierbar. Wir sagen, dass diese Zustände zu einem Hilbert-Raum gehören (sie können sogar eine Basis in diesem Raum bilden).

Aber ist das Gegenteil wahr? Ein System sei durch eine absolut quadratisch integrierbare Wellenfunktion S ( r , t ) beschrieben. Bedeutet das, dass das Systemverhalten auch durch einen Hamiltonoperator beschrieben wird?

Bemerkung : Die Evolution eines Systems lässt nicht immer einen Hamiltonoperator zu. ZB wenn die Entwicklung nicht einheitlich ist (oder zumindest, wenn es einen Hamilton-Operator gibt, würde es komplexe Eigenwerte nehmen.) Um es klar zu sagen, ich weiß nicht , ob sich mein System einheitlich entwickelt oder nicht. Ich habe das Beispiel nur gegeben, um zu zeigen, dass die Existenz eines Hamilton-Operators nicht garantiert ist. Was ich über die Funktion S ( r , t ) weiß, ist, dass sie zu einem Hilbert-Raum gehört.

Die Frage ist also, ob absolute Quadratitegrabilität (als hinreichende Bedingung) die Existenz eines Hamilton-Operators für das System sicherstellt?

Ein Beispiel : Ich entwickle S ( r , t ) in eine Quantenüberlagerung der Eigenfunktionen φ ich (R),

S ( r , t ) = ∑ ich C ich ( t ) φ ich ( r ), mit C ich ( t ) = F ich ( t ) exp(-i E ich t /ħ).

Indem ich diese Superposition in die Schrödinger-Gleichung mit dem Hamiltonoperator H einführe, erhalte ich, dass iħ ∂ S ( r , t )/∂ t nicht gleich H S ( r , t ) ist. Aber könnte es sein, dass neben der Schrödinger-Gl. Sei zufrieden?

Kommentar zur Frage (v3): Bei beliebiger orthonormaler Basis für den Hilbertraum lassen sich unendlich viele selbstadjungierte Operatoren finden H die in dieser Basis diagonal sind.
Wenn die Evolution nicht einheitlich ist, beschreiben Sie nicht das gesamte System, sondern ein offenes Teilsystem! Unitarität ist einer der wenigen Grundsätze, die keine richtige Quantentheorie bricht, wenn es um geschlossene Systeme geht.
@Qmechanic: Ja, es scheint einfach. Aber etwas funktioniert nicht. Die besprochene Wellenfunktion - nennen wir sie S(r, t) - ist knifflig. Obwohl Bauchmuskeln. quadratintegrierbar ist, ist es keine gewöhnliche Quantensuperposition der Basisvektoren ( φ ich (r) ) des Hilbertraums. Was ich habe, ist S(r, t) = ∑ ich C ich (T) φ ich (R). Und die Zeitabhängigkeit von C ich (t) ist nicht die gewöhnliche Abhängigkeit exp(-i E ich t/ħ), wo E ich sind die Energien von φ ich (R), aber C ich (t) = exp[-i( E ich + Q)t/ħ], dh komplizierter.
(Fortsetzung) Übrigens eine legitime Funktion im Hilbert-Raum. Aber wenn man diese Superposition in die Schrödinger-Gleichung einführt, macht die obige Zeitabhängigkeit Probleme: Was ich in der LHS erhalte (dh wo ich nach der Zeit ableite) ist nicht gleich dem, was ich in der RHS erhalte. Und ich wiederhole, es ist eine legitime Funktion im Hilbert-Raum.
@Sofia Woher kommt die E ich komme aus? Irgendein Hamiltonianer, würde ich vermuten. Die Erscheinung von Q verschiebt lediglich das gesamte Spektrum um eine Konstante. Das hat keine körperlichen Folgen. Die Staatsnorm S bleibt während der Zeitentwicklung erhalten, daher ist die Dynamik einheitlich.
@nephente: die zeitliche Entwicklung eines Eigenzustands φ ich (r) des Hamilton-Operators, hat die Form φ ich (r) exp(-i E ich t/ħ), wo E ich ist die Energie des Quantenobjekts im Zustand φ ich (R). Aber vielleicht hast du dich geirrt und wolltest fragen, woher die Größe Q im Exponenten von kommt C ich (T). Dieses Q erhalte ich, wenn ich S(r, t) in einer Superposition der Funktionen entwickle φ ich (R). Ich würde SEHR gerne wissen, was die physikalische Interpretation von Q ist, aber zu diesem Zeitpunkt kann ich es nicht sagen. Was ich also weiß ist, dass die Funktion S(r, t) abs ist. quadratisch integrierbar, und das war's.
Mathematisch gesehen lautet die Antwort offensichtlich nein . Ihre Frage in mathematischer Hinsicht: Es gibt eine "Evolutionskarte". E : R → L 2 ( R D ) (das jeder Zeit eine quadratintegrierbare Funktion zuordnet). Kann ich dann schlussfolgern, dass es eine stark stetige Gruppe linearer unitärer Operatoren gibt? U : R × L 2 ( R D ) → L 2 ( R D ) so dass E ( T ) = U ( T ) ψ für einige ψ ∈ L 2 ( R D ) ? Nehme an, dass E ist nicht kontinuierlich . Dann E kann von keinem erzeugt werden U ( T ) , da letztere hypothetisch stark stetig sind.
Sogar entspannt sich der Zustand weiter U ein ... zu sein C 0 -semigroup (was grob gesagt nicht-selbstadjungierte Generatoren erlauben kann), auch hier konnten Sie keine nicht-stetigen realisieren E . Schließlich bin ich ziemlich zuversichtlich, dass dies erforderlich ist E eine stetige oder gar differenzierbare Abbildung ist, würde wiederum nicht ausreichen, um zu garantieren, dass sie im Allgemeinen durch eine Familie von linear wirkenden Operatoren realisiert wird L 2 (geschweige denn eine einheitliche Gruppe bzw C 0 -Halbgruppe).
@yuggib, es tut mir leid, aber ich habe vor ZU vielen Jahren Gruppentheorie gelernt. Und ich habe keine Zeit, mein Wissen jetzt aufzufrischen, und auch nicht in naher Zukunft. Können Sie Ihren Kommentar vorerst ohne Gruppen formulieren? Ich würde mich sehr freuen. Mit Dank im Voraus.
Was ich meine ist, dass Ihre Frage die Frage bedeutet, ob die Existenz einer "Evolutions" -Karte auch impliziert, dass diese Karte kontinuierlich ist (und außerdem durch die Aktion eines linearen Operators generiert wird, vielleicht selbstadjungiert oder vielleicht nicht). Sie sehen an sehr elementaren Beispielen, dass die Antwort nein ist, weil es Funktionen gibt, die nicht stetig sind. Genauer gesagt: die Karte
E ( T ) = { 0  Wenn  T ≤ 0 e − T X 2 ich F T > 0
ist nicht stetig und daher gibt es keinen linearen Operator H so dass E ( T ) = e − ich T H ψ für einige ψ ∈ L 2 .

Antworten (2)

Jeder Hilbert-Raum H mit dem Begriff der einheitlichen Zeitentwicklung besitzt auch den Begriff des Hamiltonschen .

Wenn U ( T ) : H → H ist der Zeitentwicklungsoperator für alle T ∈ R , dann bildet es eine einparametrige Lie-Untergruppe der Lie-Gruppe von unitären Operatoren, die von einem bestimmten Element erzeugt wird H in der Lie-Algebra linearer Operatoren. Dieser Generator ist der Hamilton-Operator, und als Generator eines unitären Operators ist er nach Stones Theorem notwendigerweise selbstadjungiert , sodass Sie einen Hamilton-Operator erhalten, dessen Eigenvektoren den Raum überspannen.

Da die nicht-einheitliche Zeitentwicklung ins Spiel kommt, wenn Sie nur einen Teilraum des gesamten Zustandsraums betrachten (zB wenn Sie nicht alle Zerfallsprodukte für zerfallende Systeme verfolgen), kann man immer eine einheitliche Entwicklung erhalten, indem Sie das Teilsystem einbetten in "das ganze System", finden Sie dort den Hamilton-Operator und projizieren Sie ihn dann zurück auf das Subsystem, um den Hamilton-Operator für das Subsystem zu erhalten. Aber jetzt, da die Zeitentwicklung hier nicht einheitlich war, kann es nicht sein, dass dieser Hamiltonoperator selbstadjungiert ist (da die Exponentialfunktion von selbstadjungierten Operatoren unitär ist), daher müssen wir schlussfolgern, dass die Eigenvektoren eines Hamiltonoperators a nicht überspannen können Unterraum, in dem die Zeitentwicklung nicht einheitlich ist.

Sie können also keinen Hamilton-Operator erhalten, der sowohl den Raum überspannt als auch eine nicht-einheitliche Zeitentwicklung erzeugt, einer davon muss notwendigerweise versagen.

Das Theorem von Stone besagt, dass einheitliche Evolutionsgruppen durch selbstadjungierte Operatoren erzeugt werden, nicht nur durch hermitische, sodass keine Erweiterung erforderlich ist. Tatsächlich ergeben unterschiedliche Erweiterungen hermitescher Operatoren unterschiedliche einheitliche Evolutionsgruppen.
@ACuriousMind: Ich habe gesehen, dass du geantwortet hast, und ich habe deinen Kommentar gelesen, aber ich muss jetzt den Computer verlassen. Ich kehre viel später zurück. Lassen Sie es mich kurz sagen. Es ist umstritten, ob der Zerfall einheitlich ist oder nicht. Ich bin mir also nicht sicher. In meiner Frage habe ich nur ein Beispiel dafür gegeben, dass die Existenz eines Hamilton-Operators nicht garantiert ist. DAS IST ALLES !!!. Ich weiß nichts anderes über mein System als die Tatsache, dass seine Wellenfunktion abs ist. quadratintegrierbar. Hier kommt also meine Frage. Abs. quadratische Integrierbarkeit sichert die Existenz eines Hamiltonoperators? Aber wie gesagt, ich komme später wieder.
@Sofia: Ich antworte darauf, unabhängig davon, woher die nicht-einheitliche Evolution kommt: Wenn die Zeitentwicklung nicht-einheitlich ist, erhalten Sie keinen Hamitonian, der gleichzeitig die Zeitentwicklung erzeugt und dessen Eigenvektoren den Raum aufspannen, auf dem die nicht- Es findet eine einheitliche Evolution statt.
@Mateus: Ich kenne den Unterschied zwischen einem selbstadjungierten Operator und einem hermitischen Operator nicht. Ich habe auch andere Leute gesehen, die behaupteten, dass es einen Unterschied gibt. Was ist dieser Unterschied? Aber bitte, wenn möglich, geben Sie mir eine einfache Erklärung. Welche Funktionen hat das eine und das andere nicht? Was ich gelernt habe, ist, dass BEIDE die Eigenschaft von ECHTEN Eigenwerten haben. Ich hoffe, dass dies nicht falsch ist.
@Sofia: Es ist falsch, hermitische nicht selbstadjungierte Operatoren können komplexe Eigenwerte haben. Der Unterschied besteht nur in unendlichdimensionalen Hilbert-Räumen, in denen die Definitionsbereiche linearer Operatoren nicht unbedingt der gesamte Raum sein müssen. Ein Operateur A ist hermitesch, wenn es dasselbe ist wie A † auf seinem Definitionsbereich. Es ist selbstadjungiert, wenn die Definitionsbereiche von A Und A † stimmen überein und sie sind gleich drauf. Eine schöne Übersicht über die Probleme mit diesem Unterschied finden Sie hier .
@ACuriousMind: Der Unterschied ist zwar nur eine Frage der Domänen, aber hermitische Operatoren können keine komplexen Eigenwerte haben, da dies der Fall ist A ψ = A ψ für einige A ∈ C und eine normalisierte ψ , wir haben das:
A = ⟨ ψ , A ψ ⟩ = ⟨ ψ , A ψ ⟩ = ⟨ A ∗ ψ , ψ ⟩ = ⟨ A ψ , ψ ⟩ = ⟨ A ψ , ψ ⟩ = A ∗
dh, A ∈ R . Was passieren kann und tatsächlich passiert, wenn der hermitische Operator nicht selbstadjungiert ist, ist, dass er komplexe Werte im Spektrum hat , aber keine komplexen Eigenwerte.
@MateusSampaio: Du hast Recht. Ich habe vergessen, dass es auch im unendlichdimensionalen Fall einen Unterschied zwischen Spektrum und Eigenwert gibt.
@ACuriousMind und MateusSampaio: Sie sind beide sehr nett, aber ich habe mit Hamiltonianern zu tun, die KOMPLEXE Eigenwerte zulassen. Ein Bekannter sagte mir, dass diese komplexen Werte außerhalb des Hilbert-Raums akzeptabel sind. Aber jetzt, es ist furchtbar spät in meinem Land, hoffe ich, morgen mit Ihnen kommunizieren zu können.
@Sofia: Es ist besser, wenn Sie MateusSampaio mit Ihrem @ anpingen, da ich als Eigentümer dieses Beitrags automatisch benachrichtigt werde, wenn ein Kommentar erscheint. Ich kenne Feshbachs Theorie, wenn auch nicht im Detail. Es scheint, dass es aufgrund der Wechselwirkung mit der Umgebung kein geschlossenes System ist, sodass Sie "Hamiltonianer" erhalten können, die nicht selbstadjungiert sind.
Nein, ich verstehe, dass ich Sie zu sehr störe. Es ist unfair von meiner Seite.

Nein, ich verstehe nicht, warum das so sein sollte. Die Vorstellung eines Hilbertraums, der einem quantenmechanischen System zugrunde liegt, ist ziemlich unabhängig von dem Postulat, dass die Zeitentwicklung von einem Hamiltonoperator erzeugt wird.

Der Begriff eines Vektorraums hält Einzug in die QM, weil die QM grundsätzlich eine lineare Theorie sein soll und somit beliebige Überlagerungen zulassen soll. Die wundersamere Idee ist, dass es sich um ein Leerzeichen über den komplexen Zahlen handelt.

Die Tatsache, dass eine richtige Wellenfunktion sein sollte L 2 spiegelt die Interpretation als Wahrscheinlichkeits-/ oder Ladungsdichte wider.

Jeder (vernünftige) Hilbertraum lässt eine abzählbare orthonormale Basis zu. Wähle eine reelle Zahl für jeden dieser Basiszustände und definiere

( H ) M N = ⟨ ψ M , H ψ N ⟩ ≡ ϵ N

als Matrixelemente eines Operators H . Welche Art von Dynamik dieser "Hamiltonian" beschreibt, hängt von der Wahl der Eigenwerte ab, zB Energien. Außerdem sollte darauf geachtet werden, dass das Spektrum nicht zu pathologisch ist, dh es sollte von unten begrenzt werden, um als sinnvolles physikalisches Spektrum interpretierbar zu sein.

Uneinheitliche Zeitentwicklungen kommen in offenen Quantensystemen zustande, wo man die Umgebung vergisst, die an das interessierende System koppelt, aber dennoch vorhanden ist. Die Wahrscheinlichkeit kann in die Umwelt "durchsickern", daher eine nicht-einheitliche Evolution. Ein Beispiel ist zB die Lindblatt-Master-Gleichung, die den Markovschen Grenzwert einer System-Umwelt-Kopplung beschreibt.

Sie argumentieren also wirklich, dass geschlossene Systeme mit einer vernünftigen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion per Definition durch einen Hamilton-Operator beschrieben werden sollten, während dies in einem offenen System nicht der Fall ist. Verstehe ich deine Antwort richtig?
@PhotonicBoom Ich meine, mit einem Hilbertspace allein kann man ein physikalisches System nicht beschreiben. Einige dynamische Eingaben sind erforderlich. Eines der Postulate der QM ist, dass die Zustandsentwicklung durch einen Hamilton-Operator erzeugt wird. Die implizite Annahme ist, dass das System geschlossen ist. Keine Kopplung an eine Umgebung. Auch mit einer "Umwelt" kann das Gesamtsystem noch als geschlossen betrachtet werden und unterliegt somit einer einheitlichen Zeitentwicklung. Erst wenn man durch Nachzeichnen der Umgebung zu einer effektiven Beschreibung des Subsystems übergeht, entstehen nicht-einheitliche Dynamiken.
Hilbertraum und Hamiltonoperatoren
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