Imaginärer Eigenwert eines hermitischen Operators

Die Eigenfunktionen eines hermiteschen Operators sind reell. Aber betrachten Sie eine Funktion ψ ( X ) = e − κ X , X ∈ R , Wo κ ist eine echte Konstante. Dann,

P ^ ψ ( X ) = − ich ℏ D D X e − κ X = ich κ ℏ ψ ( X ) .
Dies ergibt einen rein imaginären Eigenwert. Ist es kein Widerspruch? Oder übersehe ich einen entscheidenden Punkt?

Interessante Frage. Nur darauf hinweisen, dass die Eigenwerte eines hermitischen Operators real sind, nicht die Eigenfunktionen.
diese Funktion ist unphysikalisch
Unphysikalisch bedeutet nicht, dass es mathematisch unmöglich ist. Ich glaube, dass die richtige Antwort auf dem damit verbundenen manipulierten Hilbert-Raum liegt L 2 ( R ) , muss ich überprüfen, aber ich denke das ψ ( X ) = e − κ X mit echt κ lieg nicht da. Wie auch immer, Sie brauchen keine Eigenvektoren, um Eigenwerte zu definieren, und der Spektralsatz schließt in diesem Fall nicht reelle Eigenwerte aus

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Was ist Ihr Hilbert-Raum? In L 2 ( R ) Ihre Eigenfunktion hätte eine unendliche Norm. Wenn Sie es stattdessen mit einer beschränkten Menge zu tun haben L 2 ( [ A , B ] ) , wäre Ihr Operator nicht hermitesch, es sei denn, Sie legen geeignete Randbedingungen fest, um Randterme zu verwerfen. Diese Randbedingungen würden jedoch Ihren Kandidaten-Eigenvektor ausschließen!

Okay. Ich habe vermutet, dass wir bei der Angabe eines Operators auch seine Domäne angeben müssen. Ist das richtig?
Ja, Sie müssen auch den Hilbert-Raum und den Definitionsbereich darin angeben!
V. Moretti-Aber sogar e ich k X ist kein Mitglied von L 2 ( − ∞ , ∞ ) . Dies ergibt jedoch einen echten Eigenwert für denselben Operator. Aus Ihrer Antwort habe ich daher verstanden, dass es nicht garantiert ist, dass die Eigenwerte des hermitischen Operators real sind, es sei denn, die Domäne ist angegeben. Es könnte alles sein, real oder imaginär.
(Ich schreibe um, da es unklar war, da ich es von meinem Handy gesendet habe). Ja, e ich k X ist ein verallgemeinerter Eigenvektor wie δ ( X ) für den Positionsoperator ... Für selbstadjungierte Operatoren gilt die Realitätsbedingung auch für verallgemeinerte Eigenvektoren, aber es ist technischer zu beweisen.

Der Spektralsatz gilt für "selbstadjungierte" Operatoren. Hermitesche symmetrische Operatoren sind nicht notwendigerweise selbstadjungiert. Eine der äquivalenten Definitionen ist die A ist selbstadjungiert, wenn nein F im Hilbert-Raum so dass ( F , ( A − λ ) G ) = 0 für alle g im Definitionsbereich von A mit nicht echt λ . Ihr Beispiel ist ein Beweis dafür, dass der Operator selbstadjungiert ist.
Ein Beispiel für einen nicht selbstadjungierten symmetrischen Operator ist ich D D X auf dem Gebiet der glatten Funktionen auf ( 0 , ∞ ) . In Betracht ziehen F = e − X .

Imaginärer Eigenwert eines hermitischen Operators
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