Impuls eines Teilchens in einer Box

Nehmen Sie eine Einheitsbox, die Energieeigenfunktionen sind Sünde ⁡ ( N π X ) (normalisierungskonstante ignorieren) innerhalb der Box und 0 außerhalb. Ich habe gelesen, dass es seitdem keinen Impulsoperator für ein Teilchen in einer Box gibt ℏ ich D D X Sünde ⁡ ( N π X ) = ℏ ich N π cos ⁡ ( N π X ) und das ist nicht 0 an den Endpunkten. Trotzdem können wir schreiben Sünde ⁡ ( N π X ) = e ich N π X − e − ich N π X 2 ich , was zu implizieren scheint, dass es zwei mögliche Impulswerte gibt: N π Und − N π , jeweils mit 50% Wahrscheinlichkeit.. Ist das falsch? Wenn Sie einen dieser Impulse messen und die Wellenfunktion in einen der Eigenzustände kollabieren würde, würden die Randbedingungen nicht gelöst. Welche Impulswerte könnten Sie also erhalten, wenn Sie den Impuls eines Teilchens in einer Kiste messen?

Bearbeiten: Ich weiß, dass Sie den Impuls eines Teilchens nicht genau messen können, aber normalerweise kollabiert die Wellenfunktion nach einer Messung des Impulses oder einer solchen kontinuierlichen Observablen zu einer kontinuierlichen Überlagerung von Impuls-Eigenzuständen, die der Genauigkeit Ihrer Messung entsprechen. Aber in diesem Fall, da die Wellenfunktion nur eine Überlagerung von zwei Impuls-Eigenzuständen zu sein scheint, muss die Wellenfunktion genau in einen von ihnen kollabieren, so scheint es zumindest.

Antworten (3)

Es gibt zwei verschiedene Probleme. Einer von ihnen ist das Zeichen des Impulses; Die andere ist, ob der Impuls verteilt wird (es liegt nicht an den unnatürlichen Randbedingungen).

Was den ersten Punkt betrifft, so ist die stehende Welle (Sinus) eine reelle Funktion und jede reelle Wellenfunktion hat die gleiche Wahrscheinlichkeit, Impuls zu tragen + P Und − P . Beide sind also in der Tat gleich wahrscheinlich.

Aber selbst wenn Sie den Sinus als Differenz zweier komplexer Exponentiale schreiben, ist es immer noch wahr, dass diese Exponentiale nicht überall gleich der Wellenfunktion sind – nur innerhalb der Box –, also ist es immer noch nicht wahr, dass der Impuls scharf auf zwei Werte beschränkt ist P Und − P .

Um die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Impulse zu erhalten, müssen Sie die stehende Welle Fourier-transformieren – einige Wellen des Sinus. Hat man

∫ 0 1 D X Sünde ⁡ ( N π X ) exp ⁡ ( ich P X ) = N π [ − 1 + e ich P ( − 1 ) N ] P 2 − N 2 π 2
Quadriere den Absolutwert, um die Wahrscheinlichkeitsdichte des Impulses zu erhalten P . Das Momentum P sollte die natürlichen Vorfaktoren haben ℏ / L usw. und die Gesamtwellenfunktion sollte einen weiteren Normierungsfaktor erhalten, damit die Gesamtwahrscheinlichkeit gleich eins ist. An der Form der Wahrscheinlichkeitsverteilung ändert dies nichts: fast alle Werte von P eine Wahrscheinlichkeit ungleich Null haben.

Das macht aber Sinn, wenn es die rechte Seite ist ψ ( P ) , dann sollte ich schreiben können ψ ( X ) = ∫ − ∞ ∞ D P ψ ( P ) e − ich P X , aber das scheint nicht der Fall zu sein, was mich misstrauisch macht.
Es ist der Fall! Durch Fourier-Transformation zurück, einschließlich der rechten 1 / 2 π usw. Natürlich erhalten Sie die ursprüngliche Funktion - Sinus im Intervall und Null außerhalb des Intervalls. Es ist nicht schwer zu erkennen, dass dies auch ohne Berechnung ein plausibles Ergebnis ist. Der Nenner P 2 − k 2 bedeutet, wenn man auf die Wellenfunktion einwirkt P 2 − k 2 , erhalten Sie etwas Einfacheres. Das ist − ∇ 2 − k 2 in der Position rep, und tatsächlich vernichtet dieser Operator die Funktion fast überall außer an den Grenzen, wo er Deltafunktionen erzeugt.
Ok, das einzige ist, dass es so aussieht, als ob Sie nach einer Impulsmessung die Wellenfunktion zusammenbrechen ∫ − ϵ ϵ D P ψ ( P ) e − ich P X oder was auch immer, es wird die Randbedingungen nicht lösen, was problematisch erscheint? Eine der Rechtfertigungen, die ich online für die Aussage gesehen habe, dass es nur diskrete Impulswerte gibt, ist die De-Broglie-Wellenlänge, wobei die Wellenlänge diejenige ist, die dem Argument von entspricht Sünde . Ich frage mich, ob die De-Broglie-Wellenlänge wirklich für alles gut ist, außer wenn Sie wissen, dass sich das Teilchen ungefähr in einem Impuls-Eigenzustand befindet.
Eine Sache, die mir aufgefallen ist, ist, dass die "De-Broglie-Wellenlänge" interessanterweise nicht einmal eine mögliche Wellenlänge ist (zumindest für n = 1).
Ich bin verwirrt, dass Sie in dieser Antwort keine Randbedingungen für den Impulsoperator berücksichtigen und somit seine Eigenwerte quantisieren.
Tut mir leid, Alejandro, der Impulsoperator auf einer unendlichen Linie ist immer − ich ℏ ∇ Unabhängig vom Wert des Potenzials v ( X ) und es gibt niemals zusätzliche "Randbedingungen". Deshalb das Spektrum von P ist immer stetig, wenn keine Werte von X werden miteinander identifiziert. Möglicherweise verwechseln Sie das Momentum P mit der Energie E . Letzteres ist in der Box aber quantisiert E ≠ P 2 / 2 M . Stattdessen, E = P 2 / 2 M + v Wo v ist außerhalb der Box unendlich, also gibt es keinen Widerspruch zwischen der Kontinuität von P und Diskretion von E .

Ich denke, das ist eine großartige Frage. http://arxiv.org/abs/quant-ph/0103153 Dieser Artikel erklärt, warum wir die Randbedingungen nicht erzwingen sollten (die Wellenfunktion geht an den Grenzen auf 0) und stattdessen die Bedingung verwenden sollten, die die Wellenfunktion ist an beiden Endpunkten gleich. Die Rechtfertigung liegt teilweise in mathematischen Gründen, teilweise aber darin, dass diese Bedingung physikalisch zu stark ist; Die Wellenfunktion ist nicht messbar. Andererseits ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zwischen a und b zu finden, messbar. Wir wollen nur sicherstellen, dass, wenn a = 0 und b sich 0 nähert, die Wahrscheinlichkeit sich kontinuierlich 0 nähert. Dies ist selbst dann erreichbar, wenn die Wellenfunktion unstetig ist.

Sobald wir die schwächere Bedingung erzwingen, sind bestimmte Funktionen erlaubt, die innerhalb der Box Exponentiale und außerhalb Null sind (diejenigen mit denselben Wellenlängen wie die Energie-Eigenzustände), und dies sind tatsächlich die Impuls-Eigenwerte. Also genau wie Sie sagten, wenn Sie den Impuls messen, wird das Teilchen in einen dieser Zustände kollabieren.

Ich stimme der Relevanz des Artikels für die Frage zu, aber nicht der Schlussfolgerung.
Dies ist ein ausgezeichneter Artikel, der unbedingt gelesen werden sollte, um die Probleme des unendlichen Brunnens richtig hervorzuheben, die in qualitativen Einführungen in die Energiequantisierung allzu oft beiläufig übersehen werden.

Ich möchte die Antwort von @Lubos Motl näher erläutern.

Die Annahme, dass die Wellenfunktion gegen Null gehen muss, wird als Sinusfunktion modelliert. Das ist knifflig, weil, wie oben erwähnt, die verwendete Wellenfunktion außerhalb der Box nicht überall auf 0 geht. Dies ist eine Subtilität, die in Kursen nie besprochen wird, da sie eine Büchse der Pandora darüber öffnet, wie gültig diese Annäherung ist (was ein angemessenes Modell für Berechnungen ist, siehe http://arxiv.org/abs/0704.1820 ) . Eine mögliche, aber umständliche Lösung, wie im Fourier-Integral im obigen Beitrag zu sehen, wäre, die Wellenfunktion in der Form zu haben

ψ = θ ( X ) θ ( 1 − X ) Sünde ⁡ ( N π X ) ,
Wo θ ( X ) ist die Heaviside-Schrittfunktion. Dies schneidet effektiv die Wellenfunktion davon ab, jenseits der Grenze zu existieren.

Außerdem ist Impuls in diesem Fall keine "gute" Quantenzahl. Das bedeutet, dass die Wellenfunktion keinen Impulswert annehmen kann, weil Sie kein periodisches, unendliches System haben. Der N π sind Harmonische, die dieses Modell aufgrund der Grenzen zulässt. Dies ist nur ein Modell und stellt möglicherweise nicht die genauen Ergebnisse in den beschriebenen Systemen dar.

Können Sie erläutern, warum dies keine gute Quantenzahl ist? Aus der obigen Antwort scheint es, als ob das Teilchen jeden (oder fast jeden) Impulswert annehmen kann.
Impuls eines Teilchens in einer Box
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