Zusammenbruch der Wellenfunktion

Wenn wir versuchen, die Position eines Systems zu messen, kollabiert die Wellenfunktion und bildet eine Spitze. Nach einer Weile breitet sich die Wellenfunktion wieder aus, und Sie nehmen eine weitere Messung vor, die Ergebnisse werden im Allgemeinen anders sein.

Was würde passieren, wenn wir stattdessen die Energie messen würden? Wieder kollabiert die Wellenfunktion zu einem Eigenzustand, würde sich die Welle nach einer Weile wieder ausbreiten? Und wie könnte man die Energie messen, ohne ihren Impuls und ihr Potenzial zu kennen?

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Die Position kollabiert in einen Positionseigenzustand (eine Spitze in der Wellenfunktion), weil Sie die Position gemessen haben. Diese Spitze breitet sich über die Zeit aus, weil die Positionseigenzustände keine Impuls-Eigenzustände sind, dh es gibt eine Reihe von Impulsen in der Spitze. Eine andere Betrachtungsweise ist, dass die Spitze kein Eigenzustand des Hamilton-Operators (dh eine wohldefinierte Energie) ist und sich daher mit der Zeit über eine einfache Phasenänderung hinaus entwickelt.

Wenn Sie die Energie messen, kollabieren Sie in einen Energieeigenzustand, der kein Ortseigenzustand ist. Beispielsweise sind Energieeigenzustände eines Teilchens in einer Box (klassisches Quantenhausaufgabenproblem) über die Breite der Box verteilt, nicht gleichmäßig, aber nicht stark lokalisiert wie die Spitze. Wenn Sie die Energie erneut messen, erhalten Sie dieselbe Antwort (es ist ein Eigenzustand des Hamilton-Operators).

Bei Messungen messen wir normalerweise Energieunterschiede. Beispielsweise entsprechen die Energieeigenzustände eines Wasserstoffatoms (oder eines wasserstoffähnlichen Atoms) verschiedenen Konfigurationen des Elektrons, das das Atom "umkreist", plus der relativen Ausrichtung des magnetischen Moments (Spin) des Elektrons zur "Umlaufbahn" und dem magnetischen Kernmoment.

Ich arbeite mit Calciumionen, die effektiv ein einzelnes Elektron um einen Kern haben (die anderen Elektronen heben sich effektiv auf). Wenn sich das Kalziumion in der niedrigsten Energiekonfiguration (Grundzustand) befindet und ich mit einem Laser darauf strahle, wobei ich die Frequenz des Lasers überstreiche, bleibt das Ion dunkel, bis sich mein Laser in einem schmalen ~20-MHz-Fenster um 755 THz (397 nm UV-Licht), an dem das Ion glüht ... etwas, das wir mit einer empfindlichen CCD-Kamera sehen können. Diese 755 THz entsprechen der Energiedifferenz zwischen zwei verschiedenen Konfigurationen des Ions. Das Ion leuchtet, weil es das Licht bei dieser spezifischen Frequenz absorbieren kann und das Licht dann durch spontane Emission in eine zufällige Richtung wieder aussendet. Die Absorption und Emission erfolgt etwa 20 Millionen Mal pro Sekunde. Befindet sich das Ion nicht im Grundzustand, und es gibt andere metastabile Ebenen, in denen es sich befinden könnte, das Ion wird nicht leuchten. So kann ich erkennen, ob es im Grundzustand war. Wenn ich den Laser ausschalte, sendet das Ion ein einzelnes letztes Photon aus und fällt zurück in den Grundzustand (und Sie können dieses Photon nachweisen).

Wenn sich das Ion ursprünglich in einer Überlagerung des Grundzustands und eines der metastabilen Zustände befand, kollabiert das Ion entweder in den Grundzustand und leuchtet oder kollabiert in den metastabilen Zustand und bleibt dunkel. Die Wahrscheinlichkeit, dass es hell oder dunkel ist, hängt von der ursprünglichen Überlagerung ab. Durch diesen Messprozess habe ich den Zustand des Ions in einen Energie-Eigenzustand kollabieren lassen. Wir messen zu keinem Zeitpunkt die Position oder den Impuls des Elektrons, sondern nur die Energiedifferenz.

Der folgende Link zum letztjährigen Nobelpreis könnte helfen.

Cool, das ist sehr interessant. Ich wusste nicht, dass es tatsächlich möglich ist, Energie ohne Berücksichtigung von Position oder Impuls zu messen! Eine Sache, die ich noch fragen möchte, ist, dass Sie anscheinend unterschiedliche Ergebnisse erzielen können, "entweder dunkel oder hell"? Aber mir wurde gesagt, dass eine wiederholte Messung nur dann den gleichen Eigenzustand liefert, wenn Sie Energie messen, nicht andere Größen wie die Position. Warum ist das so?
@elpsyCongroo Ja, es gibt zwei verschiedene Messergebnisse: hell und dunkel. Die Zustände, in denen die Messung das System verlässt, sind Eigenzustände des Ions, also werde ich dieselbe Antwort erneut messen, wenn ich die Messung wiederhole. Die Energie-Eigenzustände sind nach der Schrödinger-Gleichung die Zustände, die sich mit der Zeit nur mit einer Gesamtphasenänderung entwickeln. Es gibt eine grundlegende Verbindung zwischen Zeit und Energie, die uns durch ein schönes Ergebnis namens Noethers Theorem zuteil wird: Jede Invarianz in den physikalischen Regeln impliziert eine Erhaltungsgröße. Zeitinvarianz => Energieerhaltung.
Bedeutet das, dass Sie die gleiche Antwort erhalten, egal wie lange Sie warten, es sei denn, Sie messen eine andere Größe wie z. B. das Momentum? Ich verstehe nicht ganz, wie es zeitinvariant ist. Die Wellenfunktion hat noch einen Zeitabhängigkeitsanteil.
@elpsyCongroo Ja zur Frage. Für Energie-Eigenzustände ist die Zeitabhängigkeit eine Gesamtphasenänderung exp(-i E t/h_bar), die die Messung der Energie nicht beeinflusst.
Ich verstehe, ich bin jetzt viel klarer, also bedeutet das, dass die Position, ihr Eigenzustand, zeitabhängig sein wird? " und ist es eine Dirac-Delta-Funktion?
@elpsyCongroo Es ist eine Dirac-Delta-Funktion, wenn Sie ein perfektes Messgerät haben. In Wirklichkeit hat ein Messgerät eine grundlegende Auflösungsgrenze, sodass der Kollaps auf einen Bereich erfolgt, der dieser Auflösung entspricht.
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