Zusammenbruch der Wellenfunktion und eine allgemeine Wellenfunktion

Nicht alle Operatoren verwandeln ein Ket in eine Überlagerung von Kets: zum Beispiel

$$\hat \Pi=\vert\psi\rangle\langle\psi\vert$$ auf einen Staat einwirken$\vert \Psi\rangle$wird herstellen$\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\Psi\rangle$, das kein normalisiertes Ket und auch keine Linearkombination von Kets ist.

Ein Betreiber wie$\hat \Pi$ist ein Projektionsoperator und ist idempotent, dh$\hat\Pi\hat \Pi=\hat \Pi$; Projektionsoperatoren dienen als grundlegende Prototypen für Messoperatoren.

Sie haben hier ein Missverständnis. Die Aktion eines beobachtbaren Operators wie$x$oder$p= -i\frac{\partial}{\partial x}$ändert die Wellenfunktion nicht in einen kollabierten Zustand. Der Operator, der das tut, ist ein Projektor, wie:

$$|x=1\rangle \langle x=1|$$

oder

$$|x=-12.531\rangle \langle x=-12.531|$$

oder

$$|p=0\rangle \langle p=0|$$

Welchen Projektor Sie verwenden, hängt vom Messergebnis ab und davon, was Sie messen. Die oben genannten gelten für die Ergebnisse$x=1$,$x=-12.531$, Und$p=0$, bzw. (Einheiten habe ich weggelassen, da sie für den Punkt nicht wichtig sind).

Wenn Sie diese Projektoren berechnen wollen: Sie sind äußere Produkte der Eigenvektoren der entsprechenden Operatoren. Zum Beispiel,

$$\hat{x}|x=-12.531\rangle = -12.531 |x=-12.531\rangle$$

Die obigen Projektoren hinterlassen keine Überlagerung (zumindest nicht in der x-, x- bzw. p-Basis). Ob sich ein Vektor in einer Superposition befindet, hängt im Allgemeinen von der Basis ab, auf der Sie ihn ausdrücken.