Zusammenbruch der Wellenfunktion im Stern-Gerlach-Experiment

Question

Zusammenbruch der Wellenfunktion im Stern-Gerlach-Experiment

Physik
Wellenfunktion
Quantenmechanik
Quantenmessungen
Wellenfunktionskollaps

Benutzer212422

Betrachten Sie Silberatome, die aus einem S(X)-Apparat kommen, nach dem S(X)-Apparat platzieren wir einen S(Z)-Apparat

| S X + ⟩ = \frac{1}{2} | S Z + ⟩ + \frac{1}{2} | S Z - ⟩,

$|\mathrm{SX+}\rangle= \frac{1}{2}|\mathrm{SZ+}\rangle + \frac{1}{2}|\mathrm{SZ-}\rangle,$

Aktion von $\hat{S}_z$ Operator kollabiert den Wellenzustand zu $|\mathrm{SZ+}\rangle$ oder $|\mathrm{SZ-}\rangle$ , aber Aktion des Operators an $|\mathrm{SX+}\rangle$ kann mathematisch dargestellt werden als

\begin{aligned} {\hat{S}}_{z} | S X + ⟩ & = {\hat{S}}_{z} \frac{1}{2} | S Z + ⟩ + {\hat{S}}_{z} \frac{1}{2} | S Z - ⟩, \\ \Rightarrow {\hat{S}}_{z} | S X + ⟩ & = \frac{H}{4 π} \frac{1}{2} | S Z + ⟩ - \frac{H}{4 π} \frac{1}{2} | S Z - ⟩, \end{aligned}

$\begin{align} \hat{S}_z|\mathrm{SX+}\rangle & = \hat{S}_z\frac{1}{2}|\mathrm{SZ+}\rangle +\hat{S}_z\frac{1}{2}|\mathrm{SZ-}\rangle, \\ \Rightarrow \qquad \hat{S}_z|\mathrm{SX+}\rangle & = \frac{h}{4\pi}\frac{1}{2}|\mathrm{SZ+}\rangle -\frac{h}{4\pi}\frac{1}{2}|\mathrm{SZ-}\rangle, \end{align}$ was normalisiert werden kann als

| S X - ⟩

$|\mathrm{SX-}\rangle$ Zustand.

Mein Zweifel ist also, dass die Wirkung des Operators auf eine Wellenfunktion die Wellenfunktion in einen der Eigenzustände kollabiert oder die Wellenfunktion transformiert $|\mathrm{SX-}\rangle$ Zustand?

ZeroTheHero

siehe hier math.meta.stackexchange.com/questions/5020/…

lurscher

Messungen sind keine einheitlichen oder deterministischen Operationen und machen daher Informationen über den vorherigen Quantenzustand objektiv sogar im Prinzip unwiederbringlich

Emilio Pisanty

Ich habe eine erste Runde von Formatierungsänderungen durchgeführt, um Ihren Beitrag einigermaßen lesbar zu machen, soweit dies von Ihrer ursprünglichen Notation zugelassen wird.

Benutzer212422

Danke für die Hilfe Emilo Pisanty

Antworten (2)

Zusammenbruch der Wellenfunktion im Stern-Gerlach-Experiment

Messungen sind keine einheitlichen oder deterministischen Operationen und machen daher Informationen über den vorherigen Quantenzustand objektiv sogar im Prinzip unwiederbringlich
Ich habe eine erste Runde von Formatierungsänderungen durchgeführt, um Ihren Beitrag einigermaßen lesbar zu machen, soweit dies von Ihrer ursprünglichen Notation zugelassen wird.

Emilio Pisanty · Answer 1

Ihr grundlegender Irrtum ist hier:

Aktion von $\hat{S}_z$ Operator kollabiert den Wellenzustand zu $|\mathrm{SZ+}\rangle$ oder $|\mathrm{SZ-}\rangle$

Das ist falsch. Messung des Beobachtbaren $S_z$ wird die Wellenfunktion in einen ihrer Eigenzustände kollabieren, aber diese Messung wird nicht durch Handeln mit dem Operator modelliert $\hat{S}_z$ auf der Wellenfunktion. Wenn Sie den Kollaps modellieren möchten, verwenden Sie stattdessen einen der beiden hermiteschen Projektionsoperatoren

\begin{aligned} {\hat{Π}}_{z, +} & = | S Z + ⟩ ⟨ S Z + |, \\ {\hat{Π}}_{z, -} & = | S Z - ⟩ ⟨ S Z - | \end{aligned}

$\begin{align} \hat{\Pi}_{z,+} & = |\mathrm{SZ+}\rangle \langle \mathrm{SZ+}|, \\ \hat{\Pi}_{z,-} & = |\mathrm{SZ-}\rangle \langle \mathrm{SZ-}| \end{align}$ (in der suboptimalen Notation, die in v2 Ihrer Antwort verwendet wurde , als die sauberste Wiedergabe, die ich von Ihrem ursprünglichen Text machen konnte; zur Verdeutlichung hier

{\hat{S}}_{z} | S Z \pm ⟩ = \pm \frac{1}{2} ℏ | S Z \pm ⟩

$\hat{S}_z |\mathrm{SZ\pm}\rangle = \pm \frac12 \hbar |\mathrm{SZ\pm}\rangle$ .) Ist das Messergebnis

S_{z} = + \frac{1}{2} ℏ

$S_z = +\frac12\hbar$ , die projektive Messung ist die Ersetzung

| ψ ⟩ \mapsto {\hat{Π}}_{z, +} | ψ ⟩

$|\psi \rangle \mapsto \hat{\Pi}_{z,+} |\psi⟩$ (mit einer geeigneten Normalisierungskonstante) und ähnlich für

S_{z} = - \frac{1}{2} ℏ

$S_z = -\frac12\hbar$ .

Ihre Beobachtung, dass

{\hat{S}}_{z} | S X + ⟩ = \frac{1}{2} ℏ | S X - ⟩

$\hat{S}_z |\mathrm{SX+}\rangle = \frac12 \hbar |\mathrm{SX-}\rangle$ ist richtig, aber in keiner Weise widersprüchlich oder in Konflikt mit anderen Teilen des Formalismus.

ZeroTheHero · Answer 2

Wie an anderer Stelle angegeben , transformieren nicht alle Operatoren einen Zustand in eine lineare Kombination von Eigenzuständen. Anstatt $\sigma_z$ Betrachten Sie den Betreiber $\hat \Pi_{+,z}=\vert {+}\rangle_z {_z\langle} {+}\vert$ . Dadurch wird die transformiert $\vert {+}\rangle_x$ Eigenzustand zu

\begin{matrix} (1) & | + ⟩_{z}_{z} ⟨ + | + ⟩_{X} = \frac{1}{\sqrt{2}} | + ⟩_{z}, \end{matrix}

$\vert {+}\rangle_z {_z\langle} {+}\vert {+}\rangle_x=\frac{1}{\sqrt{2}}\vert {+}\rangle_z\, , \tag{1}$ das ist ein einzelner Zustand und keine Linearkombinationen von Eigenzuständen von

σ_{z}

$\sigma_z$ . In der Tat

(1)

$(1)$ zeigt, wie der Zustand zu einem bestimmten Eigenket zusammenbricht.

Beachten Sie, dass

Π_{+, z} = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array})

$\Pi_{+,z}=\left(\begin{array}{cc} 1&0\\ 0&0\end{array}\right)$ ist immer noch ein vollkommen gültiger Operator.

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ZeroTheHero

lurscher

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