Kann die Wellenfunktion eines freien Teilchens immer als eine lineare Kombination einfacherer Wellenfunktionen geschrieben werden?

In verschiedenen Erklärungen, die ich gelesen habe, haben nach dem, was ich gesammelt habe, alle Teilchen eine Wellenfunktion Ψ ( R , T ) Wo R sind die kartesischen Koordinaten in so vielen Dimensionen, in denen Sie arbeiten. Im regulären 3D-Raum ist die Wellenfunktion also Ψ ( X , j , z , T ) .

Meine erste Frage ist, unter welchen Bedingungen ist die Wellenfunktion eines Teilchens ein reiner Quantenzustand? Wenn ich ein Elektron nehme und es vollständig vom Rest des Universums isoliere, befindet es sich dann in einem reinen Quantenzustand? Ist das überhaupt möglich und wie hängt es mit den Eigenfunktionen zusammen, die erscheinen, wenn Sie mit einem Operator auf die Wellenfunktion einwirken? Wenn beispielsweise der Impulsoperator oder der Positionsoperator auf eine Wellenfunktion einwirken, erhalten wir:

P ^ 𝛹 = P 1 𝜓 1 + P 2 𝜓 2 . . . + P N 𝜓 N

Und

X ^ 𝛹 = X 1 𝜓 1 + X 2 𝜓 2 . . . + X N 𝜓 N

Sind das Funktionen 𝜓 N das gleiche für Impuls und Position? Tut 𝜓 1 in der Impulsgleichung = 𝜓 1 in der Positionsgleichung? Und welche Form haben diese Funktionen, ich verstehe, dass eine ebene Welle in der Form geschrieben werden kann e ich ( k X − ω T ) , aber welche dieser Funktionen liegen in dieser Form vor? Sind die Eigenfunktionen in dieser Form oder ist die gesamte Wellenfunktion Ψ in dieser Form oder beides nicht?

Tut mir leid, wenn dies eine sehr komplizierte oder schlecht formulierte Frage ist, ich werde gerne alles klären, was keinen Sinn ergibt. Es fällt mir einfach sehr schwer, Dinge in meinem Kopf zu verbinden, und wenn ich das nicht verstehen kann, habe ich nicht das Gefühl, dass ich dieses Thema jemals zufriedenstellend verstehen werde.

Als Referenz bin ich ein Chemiestudent im 3. Jahr, daher ist mein Mathematik- / Physikverständnis nicht beeindruckend, aber es ist nicht völlig nicht vorhanden.

Vielen Dank für alle Antworten im Voraus, ich weiß das wirklich zu schätzen.

Antworten (3)

Ich werde versuchen, Ihre Fragen in der gleichen Reihenfolge zu beantworten, in der sie gestellt wurden.

Absolute Reinheit ist in der realen Welt unmöglich. Wenn Sie jedoch den Bereich Ihres Experiments einschränken und nach den Eigenschaften von Partikeln auf einer bestimmten Zeit- und Entfernungsskala suchen, ist es möglich, einen Zustand zu erzeugen, der sich ähnlich wie der reine Zustand verhält. (Mit anderen Worten, wenn Ihr Experiment nur sehr kurze Zeit dauert und auf begrenztem Raum stattfindet, können Sie die Auswirkungen der Außenwelt auf Ihr Teilchen minimieren).

Funktionen ψ ich sind unterschiedlich für X ^ Und P ^ wegen der Unschärferelation. Diese Wellenfunktionen sind Eigenzustände dieser Operatoren, und da sie nicht pendeln, können sie nicht gleich sein.

Impuls-Eigenzustände haben tatsächlich eine ebene Wellenform, während Orts-Eigenzustände die Form einer Delta-Funktion haben . Dies ist sehr natürlich, wenn die Wellenfunktion als Wahrscheinlichkeitsverteilung betrachtet wird. Der Eigenzustand von X ^ ist ein Teilchen, das an einer festen Position sitzt. Daher gibt es an dieser bestimmten Position in der Wellenfunktion eine scharfe Spitze und überall sonst Nullen.

Was den Rest betrifft, was Sie suchen, heißt Vollständigkeitsbeziehung . Man kann eine Wellenfunktion in eine Summe endlicher (oder unendlicher) Anzahl von Eigenzuständen eines bestimmten Operators zerlegen. Der Betreiber könnte sein X ^ , P ^ , oder sogar der Hamiltonian H ^ selbst.

1/2 Vielen Dank, dass Sie sich die Zeit genommen haben zu antworten. Wenn es Ihnen nichts ausmacht, habe ich ein paar Folgefragen, ich werde sie nummerieren, da Sie Ihre Antworten getrennt haben. 1. Es ist also unmöglich, ein Teilchen im Raum zu 100% zu isolieren, da seine Wellenfunktion immer eine gewisse Überlappung mit der Wellenfunktion jedes anderen Teilchens im Universum hat, da sich Wellenfunktionen (zumindest im Prinzip) unendlich erstrecken. 2. Ich glaube, ich verstehe, also haben Pendeloperatoren identische Eigenfunktionen und Eigenwerte? Ist das der Grund, warum eine Messung des einen das andere nicht beeinflusst, weil sie gleich sind? (überwältigt, wenn wahr).
2/2 - 3. Dies rationalisiert tatsächlich etwas, worüber ich lange Zeit verwirrt war, die Form, die die Eigenfunktionen von Impuls und Ort bzgl. einander, danke. Welche Form hat in diesem Fall die Gesamtwellenfunktion 𝛹(r,t)? Ist die Wellenfunktion nur die Funktion, die Sie erhalten, wenn Sie alle Eigenfunktionen für alle Operatoren nehmen und sie alle zusammen mit ihren Eigenwerten addieren? Ist das exakte Lösen der Schrödinger-Gleichung deshalb so ungeheuer kompliziert für alles andere als die grundlegendsten Einzelteilchensysteme? 4. Ich werde auf Vollständigkeit nachlesen, danke für den Link.
Pendelnde Operatoren/Observables können gemessen werden, ohne sich gegenseitig zu beeinflussen. / Die Wellenfunktion ist eine normalisierte Wahrscheinlichkeitsverteilung, die auch eine Lösung der Schrödinger-Gleichung ist, sie kann in eine Summe von Eigenzuständen zerlegt werden und jede Form haben, die S.eq. Es ist schwer, es genau zu lösen, außer in wenigen Fällen.
Warte was?! Warum behaupten Sie, dass die Impuls-Eigenzustände eine ebene Wellenform und die Orts-Eigenzustände die Form einer Delta-Funktion haben? Wir haben es mit einem freien Teilchen zu tun. Warum nehmen Sie an, dass wir seine Position genau kennen? Das ist völlig seltsam. Ich würde eher behaupten, dass sowohl der Impuls- als auch der Positionseigenzustand eine Summe ebener Wellen sind, um das Problem so allgemein wie möglich zu halten.
@no_choice99 das ist der Sinn von QM; die Wellenfunktion stellt zunächst eine probabilistische Überlagerung möglicher Zustände dar. Wenn wir die Position oder den Impuls des Teilchens messen würden, würde die Wellenfunktion in einen Eigenzustand dieses Operators kollabieren. Die Eigenzustände des Positionsoperators sind Deltafunktionen. Die Vollständigkeitsbeziehung sagt uns dann, dass diese eine Grundlage für unseren relevanten Hilbert-Raum bilden, freie Teilchen oder nicht.
Ich weiß das, aber das ist nicht das, was der Beitrag behauptet. Ich stimme dem geänderten Beitrag jetzt zu. Es wurde darauf hingewiesen, dass die Wellenfunktion des freien Teilchens eine ebene Welle in der Impulsbasis und eine Delta-Funktion in der Ortsbasis ist. Das war falsch. Es könnte zum Beispiel stimmen, wenn man nur die Wellenfunktion des Teilchens kollabiert hätte, aber es ist überhaupt keine Voraussetzung.

Eine Basis ist eine Basis. Wenn Sie also über einen vollständigen Satz von Funktionen verfügen, können Sie damit alles erweitern, was Sie möchten, einschließlich freier Teilchenwellenfunktionen.

Warum Sie dies tun möchten, ist eine andere Sache: Dies hängt vermutlich von der Physik Ihres Problems ab. Schließlich wird die Wahl eines Basissatzes statt eines anderen - sagen wir eher sphärisch als kartesisch - normalerweise gemacht, weil einige Merkmale in einem Basissatz natürlicher offensichtlich sind als in einem anderen.

Das wirft tatsächlich ein anderes Problem auf, das ich beim Versuch zu lernen hatte, die Art und Weise, wie wir uns "Basissätzen" in der Chemie nähern, ist sehr de-abstrahiert von der tatsächlichen mathematischen Bedeutung eines Basissatzes. Mein größtes Problem beim Erlernen von QM ist, dass, wenn ich nicht alles, was ich versucht habe, in meinem Kopf zu lernen, vollständig zu vereinen und zu verbinden und zu verstehen, wie sie alle zusammenhängen, fällt das gesamte Bild für mich einfach auseinander und ich habe das Gefühl, dass ich es getan habe nichts gelernt. Mein eigentliches Ziel ist es zu verstehen, wie grundlegendes (und eventuell fortgeschritteneres) QM mathematisch abgeleitet werden kann. Ich denke, das ist der einzige Weg, wie ich wirklich das Gefühl habe, es zu verstehen.
Ich habe online nach einer Erklärung gesucht, aber viele von ihnen tauchen in oder verwenden Notationen oder Ideen aus Bereichen der Mathematik, die ich noch nie in meinem Leben berührt habe, was das Verständnis erschwert. Zum Beispiel können nach meinem Verständnis die Basisvektoren i und j verwendet werden, um jeden Vektor in R ^ 3 als lineare Kombination von sich selbst darzustellen. Aber was bedeutet "Basissatz ändern", handelt es sich ausschließlich um das Ändern von Koordinaten beispielsweise in sphärische Polarkoordinaten? Hat jedes Koordinatensystem nur einen "Basissatz"? Wenn nicht, was wäre ein weiteres Beispiel für einen Basissatz in R^3? Gibt es unendlich?
@Terry ja es gibt unendlich viele. Denken Sie zum Beispiel einfach an zwei kartesische Sätze, wobei der zweite w/r zum ersten gedreht ist. Das mathematische Schlüsselelement ist die Verbindung mit Sturm-Liouville-Systemen: Die Lösungen einiger Arten von Differentialgleichungen lassen "natürlich" einen vollständigen Satz von Funktionen zu. Es stellt sich heraus, dass die Schrödinger-Gleichung in den meisten Fällen ein Sturm-Liouville-Problem ist (es gibt immer mathematische Vorbehalte).

Zunächst einmal beschreiben Wellenfunktionen keine Teilchen, sie beschreiben Systeme . Wenn Sie beispielsweise ein 2-Teilchen-System haben (z. B. zwei Elektronen in Helium), beschreibt die Wellenfunktion das System.

Nun, wenn Ihr System aus einem einzelnen Teilchen und einem Hamilton-Operator besteht H ^ , Dann Ψ N ist ein reiner Zustand, wenn:

H ^ Ψ N = E Ψ N
Und Ψ kann nicht als lineare Kombination anderer reiner Zustände ausgedrückt werden Ψ l ; mit anderen Worten Ψ ist ein Zustand bestimmter Energie.

Betrachten wir für den zweiten Teil Ihrer Frage einen allgemeinen Operator A ^ :

Wenn A ^ ist der dem Observablen zugeordnete Operator A , Dann:

A ^ ψ N = A N ψ N
bedeutet, dass A N (die Eigenwerte von A ^ ) sind die einzig möglichen Ergebnisse einer Messung von A . ψ (die Eigenfunktionen von A ^ ) sind die Zustände der Bestimmtheit A (in deinen Beispielen A ist Ort und Impuls).

Die Menge der Eigenfunktionen ψ N die Eigenschaft haben, dass Ψ kann als Linearkombination der bestimmten Zustände ausgedrückt werden A .

Ψ = ∑ N A N ψ N

A ^ Ψ = ∑ N A N A N ψ N

Wenn Sie unterschiedliche Operatoren haben, haben Sie unterschiedliche Eigenfunktionen, können aber trotzdem ausdrücken Ψ als Linearkombination dieser anderen Eigenfunktionen.

Vielen Dank für Ihre Antwort. Ich hoffe, Sie haben nichts dagegen, wenn ich ein paar Anschlussfragen stelle. Wo Sie gesagt haben, dass eine Wellenfunktion Ψ (r, t) das System als Ganzes beschreibt, ist es möglich, dieses Gesamtsystem WF als Summe der einzelnen WFs darzustellen, die die darin enthaltenen Teilchen beschreiben würden? Wenn ja, wie sieht die WF eines Einteilchensystems aus, wenn man sie mathematisch ausschreibt? (Wenn es zu komplex ist, um es allgemein zu schreiben, wäre es zum Beispiel die Summe einer Ladung imaginärer Exponentialfunktionen e ^ i (kx-wt)?
Eine Mehrteilchenwellenfunktion kann nicht generisch in Einteilchenwellenfunktionen zerlegt werden. Beispielsweise kann der Bell-Zustand nicht als Produkt von Ein-Teilchen-Zuständen ausgedrückt werden. Wenn dies möglich ist, werden diese als Produktzustände bezeichnet und sind sehr nützlich, da die Quantenzahlen, die jeden Zustand charakterisieren, separat untersucht werden können (z. B. beim Auflösen der radialen und winkligen Komponenten der TISE für das Wasserstoffatom).
Kann die Wellenfunktion eines freien Teilchens immer als eine lineare Kombination einfacherer Wellenfunktionen geschrieben werden?
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