Quantenzustandsdarstellung mit Pendeloperatoren

Wenn Sie denken$a_n$Und$b_j$als Eigenwerte ist es für den Eigenwert durchaus möglich$a_n$mehr als einmal auftreten, aber es gibt keinen Grund für alle Eigenzustände von$\hat A$mit Eigenwert$a_n$den gleichen Eigenwert von haben$\hat B$.

Ein einfaches Beispiel wären die Eigenzustände des Wasserstoffatoms. Die Eigenzustände$\vert \psi_{n,\ell,m}\rangle$alle haben die gleiche Energie$E_n$für fest$n$, aber es gibt (normalerweise) mehrere Zustände mit Energie$E_n$mit unterschiedlichen Eigenwerten von$\hat L^2$Und$\hat L_z$. Daher würde eine Erweiterung in Bezug auf diese Eigenzustände für jeden einen anderen Koeffizienten enthalten$(n,\ell,m)$Tripel von Quantenzahlen, dh

Man kann sich sogar Situationen vorstellen, in denen einige Tripel mehr als einmal vorkommen, in diesem Fall benötigen Sie das zusätzliche Etikett$i$zwischen diesen Zuständen zu unterscheiden.

In der ersten Gleichung ist n der Index der Paare${a_n,b_n}$von simultanen Eigenwerten, und$i\geqslant 1$. In der Buchgleichung von Cohen hat er zwei Indizes, n für$A$Eigenwerte und p für$B$Eigenwerte. Wenn wir ein System mit vier Zuständen haben$|a>$,$|b>$,$|c>$,$|d>$, die die Eigenschaft haben, dass:$A|a>=|a>$,$A|b>=|b>$,$A|c>=3|c>$,$A|d>=3|d>$

$B|a>=0$,$B|b>=2|b>$,$B|c>=4|c>$,$B|d>=4|d>$

In der ersten Notation, die Sie erwähnen, haben wir$n=1,2,3$, und die Staaten werden aufgerufen$|{a_1,b_1,1}>=|a>$,$|{a_2,b_2,1}>=|b>$,$|{a_3,b_3,1}>=|c>$,$|{a_3,b_3,2}>=|d>$, mit$a_1=1, a_2=1, a_3=3, b_1=0, b_2=2, b_3=4$. In der zweiten Notation haben wir$n=1,2$,$p=1,2,3$, und die Staaten werden aufgerufen$|{a_1,b_1,1}>=|a>$,$|{a_1,b_2,1}>=|b>$,$|{a_2,b_3,1}>=|c>$,$|{a_2,b_3,1}>=|d>$.

Ich denke das ist die Idee...

War das nützlich?

Wenn$A$Und$B$kommutierende selbstadjungierte Operatoren sind (genauer gesagt Operatoren mit reinem Punktspektrum, deren Spektralmaße kommutieren), dann wird der Hilbertraum in eine direkte orthogonale Summe gemeinsamer Eigenräume zerlegt , wobei$A$Und$B$werden trivialerweise als multiplikative Operatoren dargestellt:$aI$Und$bI$.

Die entscheidende Beobachtung ist, dass gemeinsame Eigenräume von$A$Und$B$sind eins zu eins mit den Eigenwertpaaren $(a,b)$. Nun gibt es mehrere Möglichkeiten, all diese Paare, dh all diese gemeinsamen Eigenräume, bijektiv zu kennzeichnen.

Im ersten Fall$n$bezeichnet verschiedene gemeinsame Eigenräume , deren Dimension der Bereich möglicher Werte von ist$i$(was davon abhängt$n$). Das kann also passieren$a_n= a_{m}$zum Beispiel auch wenn$n\neq m$. Aber$(a_m,b_m) \neq (a_n,b_n)$unbedingt wenn$n\neq m$(das ist$b_n\neq b_m$im betrachteten Beispiel).

Im zweiten Fall$n$Und$p$verschiedene Eigenwerte von separat kennzeichnen$A$Und$B$bzw. und$i$(dessen Reichweite davon abhängt$n$Und$p$) berücksichtigt nach wie vor die Dimension jedes gemeinsamen Eigenraums. Also insbesondere$a_n \neq a_m$unbedingt wenn$n\neq m$Und$b_p \neq b_q$Wenn$p\neq q$.

Diese beiden Verfahren beschreiben die Zerlegung des Hilbert-Raums in eine direkte orthogonale Summe gemeinsamer Eigenräume$A$Und$B$sind völlig gleichwertig. Die Verwendung des einen oder anderen ist nur eine Frage der Bequemlichkeit.

Eine Art Verwirrung entsteht durch das Fehlen der Angabe der Indexbereiche in der Summe, insbesondere der von$i$. Eine weniger schlampige Notation würde helfen, die Äquivalenz von Zerlegungen zu verstehen.

Verwenden$|a_n,b_p,i\rangle$ist nur eine allgemeinere Methode, um den allgemeinen Zustand zu zerlegen$|\psi\rangle$. Denn alles, was Sie brauchen, ist eine Reihe von Zuständen, die Ihre beiden Operatoren diagonalisieren. Zum Beispiel, wenn

Wenn diese Zustandsmenge vollständig ist (den gesamten Hilbert-Raum überspannt), haben Sie somit herausgefunden, was der Satz garantiert existiert.

Der Unterschied zwischen Gleichung (1) und (2) besteht darin, dass Gleichung (1) nur Operatoren zulässt, die denselben Hilbert-Raum aufspannen (weil für jeden Eigenwert von$A$, gibt es einen entsprechenden Eigenwert für$B$für denselben Staat). Somit wäre es möglich, nur einen Index für jeden Eigenzustand der beiden Operatoren A und B zu verwenden (wie z$|a_nb_n\rangle\equiv|n\rangle$Wo$A|n\rangle = a_n|n\rangle$Und$B|n\rangle = b_n|n\rangle$). Im Gegensatz dazu erlaubt Gleichung (2) zwei Operatoren, die auf verschiedene Hilbert-Räume wirken (für einen einzigen Eigenwert von$A$, gibt es eine ganze Reihe von Zuständen, die den gleichen Eigenwert für ergeben$A$aber nicht das gleiche für$B$). Diese Form wäre allgemeiner.

Für ein System mit einem Teilchen mit Spin-Entartung (wie ein Elektron in einem H-Atom) könnten Sie beispielsweise einen Operator haben, der auf einen Hilbert-Raum einwirkt, der von einem unendlichen Satz von Eigenzuständen (wie dem Energieoperator) aufgespannt wird, der mit dem pendelt Spinoperator, der für jeden Energiezustand einen eingeschränkten Hilbert-Unterraum aufspannt (zweifache Spinentartung für jeden Energieeigenwert). Daher würde Ihr allgemeiner Elektronenzustand besser durch Gleichung (2) geschrieben werden, da beide Operatoren nicht auf denselben Hilbert-Unterraum wirken. Ich hoffe das hilft!