Etwas Besonderes an Energie-Eigenzuständen, wenn es um Zeitentwicklung geht?

Question

Etwas Besonderes an Energie-Eigenzuständen, wenn es um Zeitentwicklung geht?

BRAND

Ein Teilchen unterliegt einem unendlichen quadratischen Topfpotential mit

v (X) = {\begin{cases} 0 & - A < X < A \\ \infty & ansonsten \end{cases}

$V(x)= \begin{cases} 0 & −a \lt x \lt a\\ \infty & \,\,\,\,\text{otherwise} \end{cases}$

Zu einer Zeit $t=0$ seine Wellenfunktion ist gegeben durch

ψ (X, T = 0) = \frac{1}{\sqrt{5 A}} \cos (\frac{π X}{2 A}) + \frac{2}{\sqrt{5 A}} Sünde (\frac{π X}{A})

$\psi(x, t=0)=\frac{1}{\sqrt{5a}}\cos\left(\frac{\pi x}{2a}\right)+\frac{2}{\sqrt{5a}}\sin\left(\frac{\pi x}{a}\right)$

(a) Was sind die möglichen Ergebnisse einer Energiemessung? $t = 0$ , und mit welchen Wahrscheinlichkeiten?

Umschreiben der Begriffe in $\psi(x,t=0)$ als

u_{1} (X) = A^{- 1 / 2} \cos (\frac{π X}{2 A}) & u_{2} (X) = A^{- 1 / 2} Sünde (\frac{π X}{A})

$u_1(x)=a^{-1/2}\cos\left(\frac{\pi x}{2a}\right)\qquad \text{&} \qquad u_2(x)=a^{-1/2}\sin\left(\frac{\pi x}{a}\right)$ so dass

ψ (X, T = 0) = \frac{1}{\sqrt{5}} u_{1} (X) + \frac{2}{\sqrt{5}} u_{2} (X)

$\psi(x,t=0)= \frac{1}{\sqrt{5}}u_1(x)+\frac{2}{\sqrt{5}}u_2(x)$ mit Energien

E_{1} = \frac{ℏ^{2} π^{2}}{8 M A^{2}} & E_{2} = \frac{ℏ^{2} π^{2}}{2 M A^{2}}

$E_1=\frac{\hbar^2 \pi^2}{8ma^2}\qquad \text{&} \qquad E_2=\frac{\hbar^2 \pi^2}{2ma^2}$ und Wahrscheinlichkeiten

P (E_{1}) = \frac{1}{5} & P (E_{2}) = \frac{4}{5}

$P(E_1)=\frac15 \qquad \text{&} \qquad P(E_2)=\frac45$

(b) Wenn keine Messung durchgeführt wird, was ist die Wellenfunktion? $\psi(x, t)$ jederzeit $t$ ? Was sind die möglichen Energien und ihre Wahrscheinlichkeiten, wenn eine Messung zum ersten Mal durchgeführt wird? $t$ ?

Zu einer Zeit $t$ die Wellenfunktion ist gegeben durch

ψ (X, T = 0) = \frac{1}{\sqrt{5 A}} \cos (\frac{π X}{2 A}) \exp (\frac{- ich E_{1} T}{ℏ}) + \frac{2}{\sqrt{5 A}} Sünde (\frac{π X}{A}) \exp (\frac{- ich E_{2} T}{ℏ})

$\psi(x, t=0)=\frac{1}{\sqrt{5a}}\cos\left(\frac{\pi x}{2a}\right)\exp\left(\frac{-i E_1 t}{\hbar}\right)+\frac{2}{\sqrt{5a}}\sin\left(\frac{\pi x}{a}\right)\exp\left(\frac{-i E_2 t}{\hbar}\right)$

Das Problem ist, dass ich den zweiten Teil der Frage (b) nicht beantworten kann.

In der Antwort heißt es:

Da die beiden Terme Energieeigenzustände sind, ändern sich die relativen Wahrscheinlichkeiten nicht und sind wie im vorherigen Teil.

Ich habe einige Fragen zu der obigen Aussage: Warum bedeutet ein "Energie-Eigenzustand", dass sich die Wahrscheinlichkeiten nicht mit der Zeit ändern? Oder anders ausgedrückt, hat ein "Impuls-Eigenzustand" (zum Beispiel) konstante relative Wahrscheinlichkeiten, wenn er zu irgendeinem Zeitpunkt gemessen wird?

Die Antwort scheint zu implizieren, dass Energie-Eigenzustände etwas Besonderes sind, wenn es um die Zeitentwicklung geht. Die Eigenwerte von Energiemessungen scheinen sich nicht zu ändern, egal wie oft Sie sie messen und wie lange Sie warten, bis Sie sie messen. Ich bin mir nicht sicher, ob dies der Fall ist, aber könnte jemand bitte erklären, warum nicht alle Quantenoperatoren (außer Hamiltonian) dieses Verhalten zeigen.

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Etwas Besonderes an Energie-Eigenzuständen, wenn es um Zeitentwicklung geht?

ravjotsk · Answer 1

Der Grund, warum die Energie-Eigenzustände speziell sind, liegt an der Schrödinger-Gleichung

ich ℏ \frac{\partial}{\partial T} Ψ (X, T) = \hat{H} Ψ (X, T)

$i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(x,t) = \hat{H} \Psi(x,t)$ Wenn

\hat{H}

$\hat{H}$ zeitunabhängig ist, ist die Lösung der Gleichung gegeben durch

Ψ (X, T) = e^{- \frac{ich}{ℏ} \hat{H} T} Ψ (X, 0)

$\Psi(x,t)= e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H} t} \, \Psi(x,0)$

Die Tatsache, dass Energieeigenzustände in Bezug auf die Zeitentwicklung speziell sind, ist genau darauf zurückzuführen, dass der Hamiltonoperator die Zeitentwicklung des Systems steuert, wie durch die obige Gleichung gegeben.

Wenn Sie Ihren Anfangszustand erweitern $\Psi(x,0)$ in Bezug auf die Eigenzustände des Hamiltonoperators ist die Wirkung des Exponentialoperators auf diese Zustände leicht gegeben. Vermuten $\psi_n(x)$ stellt einen Energiezustand dar $E_n$ und nehmen Sie an, Sie können Ihren Anfangszustand als erweitern

Ψ (X, 0) = \sum_{N} C_{N} ψ_{N} (X)

$\Psi(x,0) = \sum_n c_n \psi_n(x)$ Wo

c_{n}

$c_n$ sind Konstanten (unabhängig von der Zeit). Dann ist die vollständige Lösung der Schrödinger-Gleichung

Ψ (X, T) = \sum_{N} C_{N} e^{- \frac{ich}{ℏ} E_{N} T} ψ_{N} (X)

$\Psi(x,t) = \sum_n c_n e^{-\frac{i}{\hbar} E_n t} \psi_n(x)$ Jetzt weil

c_{n}

$c_n$ zeitunabhängig sind, ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich das System in einem bestimmten Energieeigenzustand befindet, für alle Zeiten gleich. Sie können dies durch Berechnung sehen

| ⟨ ψ_{m} | Ψ (x, t) ⟩ |^{2} = | c_{m} |^{2}

$|\langle \psi_m | \Psi(x,t) \rangle|^2=|c_m|^2$

Der Grund, warum dies für andere Operatoren möglicherweise nicht für einen zufälligen Operator gilt, sagen wir $\hat{B}$ liegt daran, dass sich die Eigenzustände dieses Operators möglicherweise nicht unabhängig voneinander entwickeln. Im Laufe der Zeitentwicklung können sie sich miteinander vermischen. Mit anderen Worten, wenn Sie einen zufälligen Anfangszustand in Bezug auf die Eigenzustände des Operators erweitern $\hat{B}$ und dann schauen Sie sich die Projektion auf einen Eigenzustand an, nach einiger Zeit wird sich der Koeffizient ändern. Mit ein wenig Arbeit können Sie herausfinden, dass die Bedingung, dass die Koeffizienten zeitunabhängig bleiben, der Operator ist $\hat{B}$ pendelt mit dem Hamiltonian, dh, $[\hat{H},\hat{B}]=0$ .

PS - Wie in den Kommentaren von @ACuriousMind erwähnt, obwohl $[\hat{H},\hat{B}]=0$ notwendig ist, reicht es möglicherweise nicht aus, sicherzustellen, dass die Koeffizienten zeitunabhängig sind. Letztendlich brauchen Sie eine gemeinsame Eigenbasis für die Operatoren $\hat{B}$ Und $\hat{H}$ um sicherzustellen, dass die Zeitentwicklung die Zustände nicht vermischt.

ACuriousMind · Answer 2

Ein Energieeigenzustand ist ein Eigenzustand des Hamiltonoperators $H$ . Wenn der Hamiltonoperator nicht zeitabhängig ist, dann ist es der Zeitentwicklungsoperator $U(t) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}Ht}$ , also ist jeder Energieeigenzustand auch ein Eigenzustand des Zeitentwicklungsoperators, was bedeutet, dass er unter der Zeitentwicklung derselbe Zustand bleibt.

Kein anderer Operator weist dieses besondere Merkmal für seine Eigenzustände auf, da der Hamilton-Operator insofern besonders ist, als er durch die Schrödinger-Gleichung mit der Zeitentwicklung verbunden ist.

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ravjotsk

ACuriousMind

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