Lösung des Problems freier Teilchen im Impulsraum

(Hinweis: Diese Frage wurde hier schon einmal gestellt , aber ich bin der Antwort nicht gefolgt.)

Für das freie Teilchen ist die Schrödinger-Gleichung gegeben durch

ich ℏ D D T | ψ ( T ) ⟩ = P 2 2 M | ψ ( T ) ⟩ .

Ich möchte nach der Wellenfunktion im Impulsraum auflösen, dh ψ ( P , T ) = ⟨ P | ψ ( T ) ⟩ . Mein erster Schritt war der Versuch, das Eigenwertproblem zu lösen

H | E ⟩ = P 2 2 M | E ⟩ = E | E ⟩
im Impulsraum, der nachgibt
1 2 M ⟨ P | P 2 | E ⟩ = E ⟨ P | E ⟩ , P 2 2 M ψ E ( P ) = E ψ E ( P ) .
Wo P | P ⟩ = P | P ⟩ Und ψ E ( P ) = ⟨ P | E ⟩ .

Ich bin mir nicht ganz sicher, wohin ich von hier aus gehen soll, um es zu bestimmen E Und ψ E ( P ) . Wie es scheint E = P 2 / 2 M , aber die Tatsache, dass P ist eine Variable, die mich verwirrt.

Antworten (2)

Eine andere Möglichkeit, dieses Problem zu betrachten, besteht darin, es im Ortsraum zu betrachten und dann die Lösung in seine Impulsraumdarstellung umzuwandeln. Auch wenn dies wie ein unnötiger Arbeitsaufwand erscheinen mag, kann es für Sie die Delta-Funktionslösung auf andere Weise beleuchten. Im Positionsraum haben wir also

− ℏ 2 2 M D 2 ψ D X 2 = E ψ → κ 2 ≡ 2 M E / ℏ 2 D 2 ψ D X 2 = − κ 2 ψ → ψ ( X ) = A e ich κ X + B e − ich κ X

Bevor Sie dies in seine Impulsraumdarstellung umwandeln, erinnern Sie sich an die Integraldarstellung der Dirac-Delta-Funktion (die durch Berücksichtigung der Orthogonalität von Positions- oder Impuls-Eigenzuständen erreicht werden kann):

δ ( a − β ) = 1 2 π ℏ ∫ e ich X ( a − β ) / ℏ D X .

Lassen Sie uns unter Verwendung des Obigen unsere Lösung Fourier-transformieren, um ihre Impulsdarstellung zu erhalten:

ψ ( P ) = 1 2 π ℏ ∫ ψ ( X ) e − ich P X / ℏ D X = A 2 π ℏ ∫ e ich X ( κ − P / ℏ ) D X + B 2 π ℏ ∫ e ich X ( − κ − P / ℏ ) D X = 2 π ℏ [ A δ ( κ − P / ℏ ) + B δ ( − κ − P / ℏ ) ] .

Jetzt einsteigen κ = 2 M E / ℏ , und nutzen Sie die Tatsache, dass δ ( − X ) = δ ( X ) Und δ ( a X ) = δ ( X ) / | a | um dies umzuschreiben als

ψ ( P ) = A ~ δ ( P − 2 M E ) + B ~ δ ( P + 2 M E ) ,

wo ich Konstanten gesammelt und sie aufgerufen habe A ~ Und B ~ zur Vereinfachung der endgültigen Lösung. Offensichtlich ist dies mehr Arbeit, als zu bemerken, dass die Lösung im Impulsraum dem Verhalten der Delta-Funktion entspricht, aber vielleicht finden Sie diesen Weg aufschlussreich; oder, wenn nichts anderes, eine schöne Konsistenzprüfung.

Danke, das ist wirklich ordentlich! Ich bin speziell daran interessiert, die Schrödinger-Gleichung im Impulsraum zu lösen, aber dies ist eine nützliche Methode zur Überprüfung.

Sie erhalten die Lösung von

P 2 2 M ψ E ( P ) = E ψ E ( P )
folgendermaßen

( P 2 2 M − E ) ψ E ( P ) = 0

Damit diese Gleichung gilt, muss es eines von beiden sein P 2 2 M − E = 0 oder ψ E ( P ) = 0 . Das bedeutet für jeden P ausser für P = ± 2 M E es muss sein ψ E ( P ) = 0 . Nur für P = 2 M E Und P = − 2 M E das ist erlaubt ψ E ( P ) ist ungleich Null.

Die allgemeinste Lösung für all dies ist also (unter Verwendung der Dirac-Delta-Funktion )

ψ E ( P ) = A δ ( P − 2 M E ) + B δ ( P + 2 M E )
Wo A Und B sind beliebige Konstanten.

Obwohl ich mit dem Dirac-Delta vertraut bin, ist mir unklar, wie genau die zweite Gleichung aus der ersten folgt.
@JJ Ich habe eine detailliertere Erklärung dafür hinzugefügt.
E = ℏ 2 k 2 / 2 M ?
Das macht etwas Sinn. Ein Problem: P = ± 2 M E , also denke ich ψ E ( P ) = A δ ( P − 2 M E ) + B δ ( P + 2 M E ) ?
@JJ Ja, du hast recht. Ich habe dieses bisschen vergessen.
Ich verstehe nicht, wie Sie von dem, was Sie bisher gegeben haben, zur Dirac-Delta-Funktion springen können. Ich kann nur sagen, dass Ihre Wellenfunktion eine stückweise Funktion ist.
@AaronStevens Nicht nur stückweise. ψ ( P ) muss fast überall Null sein, außer at P = ± 2 M E .
Richtig, die Dirac-Delta-Funktion ist nicht das einzige, was diese Eigenschaft hat. Ich sage nicht, dass die Schlussfolgerung falsch ist, ich sage, dass der Sprung dorthin bisher nicht gerechtfertigt ist, basierend auf diesen Punkten allein
Ich denke, es kann gezeigt werden, dass das Dirac-Delta in diesem Fall die einzige Funktion ist, auf die sich normalisiert δ ( 0 ) , aber ich bin mir nicht sicher, ob es eine andere Funktion gibt (Quadratwurzel von Dirac Delta?), die auf Einheit normalisiert wird.
@JJ Das versuche ich zu sagen. Die Antwort hat nicht alle notwendigen Punkte gegeben, um zu sagen, dass es sich um die Dirac-Delta-Funktion handelt.
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