Schrödinger-Gleichung für Wasserstoffatom

Question

Schrödinger-Gleichung für Wasserstoffatom

Mareck

Ich habe ein Problem, die Bedeutung des Laplace-Operators in der Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoffatom zu verstehen.

(- \frac{ℏ^{2}}{2 M_{e}} Δ_{R_{e}} - \frac{ℏ^{2}}{2 M_{P}} Δ_{R_{P}} + v (R)) Ψ (R_{e}, R_{P}) = E Ψ (R_{e}, R_{P})

$\Big(-\frac{\hbar^2}{2m_e} \Delta_{r_e} - \frac{\hbar^2}{2M_P} \Delta_{r_p} +V(r) \Big)\Psi(r_e,r_p) = E \Psi(r_e,r_p)$

Was genau bewirkt das $\Delta_{r_e}$ bedeuten? ich weiß nur $\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$ . Also ich bin irgendwie verwirrt durch den Index der $\Delta$ . Und was tut $\Psi(r_e,r_p)$ aussehen?

Sobald der Schwerpunkt und die relativen Koordinaten eingeführt sind (nicht sicher, ob diese Übersetzung korrekt ist), wird die Schrödinger-Gleichung wie folgt geschrieben:

(- \frac{ℏ^{2}}{2 (M_{e} + M_{P})} Δ_{_{R}} - \frac{ℏ^{2}}{2 μ} Δ_{R} + v (R)) Ψ (R, R) = E Ψ (R, R)

$\Big(-\frac{\hbar^2}{2(m_e+M_p)} \Delta_{_{R}} - \frac{\hbar^2}{2\mu} \Delta_{r} +V(r) \Big)\Psi(r,R) = E \Psi(r,R)$ Mit:

R = \frac{M_{e} \vec{R_{e}} + M_{e} \vec{R_{P}}}{M_{e} + M_{P}}

$R=\frac{m_e \overrightarrow{r_e} + M_e \overrightarrow{r_p}}{m_e + M_p}$

μ = \frac{M_{e} M_{P}}{M_{e} + M_{P}}

$\mu = \frac{m_eM_p}{m_e+M_p}$

Gleiches Problem, was macht das $\Delta_{_{R}}$ genau bedeuten, und was bedeutet das $\Psi(r,R)$ aussehen? Und was passiert, wenn ich benutze $\Delta_{_{R}}$ An $\Psi(r,R)$ ?

Antworten (2)

Schrödinger-Gleichung für Wasserstoffatom

Timäus · Answer 1

Was genau macht $\Delta_{r_e}$ bedeuten ?

Ihre Wellenfunktion ist kein Feld im Raum, sondern ein Feld im Konfigurationsraum, dh sie ordnet einer Konfiguration komplexe Zahlen zu. Wenn Ihr Elektron bei ist $(x_e,y_e,z_e)$ und Ihr Proton ist bei $(x_p,y_p,z_p)$ dann kommt es auf die Konfiguration an $(x_e,y_e,z_e,x_p,y_p,z_p)$ in einem 6d-Raum. Ein Punkt in diesem 6D-Raum sagt Ihnen, wo sich beide Partikel befinden, er sagt Ihnen die Konfiguration.

Da es sich also um einen 6d-Raum handelt, gibt es sechs Richtungen, in die Sie Ableitungen nehmen können: $\partial/\partial x_e,$ $\partial/\partial y_e,$ $\partial/\partial z_e,$ $\partial/\partial x_p$ $\partial/\partial y_p,$ Und $\partial/\partial z_p.$

$\Delta_{r_e}$ gleich

\frac{\partial^{2}}{\partial X_{e}^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial j_{e}^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z_{e}^{2}} .

$\frac{\partial^2}{\partial x_e^2}+\frac{\partial^2}{\partial y_e^2}+\frac{\partial^2}{\partial z_e^2}.$

Ähnlich

Δ_{R_{P}} = \frac{\partial^{2}}{\partial X_{P}^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial j_{P}^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z_{P}^{2}} .

$\Delta_{r_p}=\frac{\partial^2}{\partial x_p^2}+\frac{\partial^2}{\partial y_p^2}+\frac{\partial^2}{\partial z_p^2}.$

Jeder nimmt also Ableitungen in nur drei dieser sechs Richtungen.

Wenn Sie die Koordinaten wechseln (wie z $\vec r,$ $\vec R$ dann haben Sie immer noch sechs Koordinaten, weil es immer noch ein sechsdimensionaler Raum ist, und Sie können sie in zwei Dreiergruppen aufteilen und den Laplace-Operator jeder Gruppe nehmen.

Was bedeutet die $\Psi(\vec r,\vec R)$ aussehen ? Die Trennung von Variablen ergibt ein freies Teilchen $R$ und eine reguläre Wasserstoffatomlösung (mit reduzierter Masse) in $r$ . Also zum Beispiel, wenn es für das freie Teilchen eine ebene Welle mit festem Impuls gibt $e^{i\vec P \cdot \vec R}$ und ein lass $\Phi_n(\vec r)$ sei ein Energieeigenzustand des Wasserstoffatoms (mit reduzierter Masse). Dann können wir überlegen $\Psi(\vec r, \vec R)=e^{i\vec P \cdot \vec R}\Phi_n(\vec r).$

Was macht $\Psi(r_e,r_p)$ aussehen ?

$\Psi(r_e,r_p)=e^{i\vec P \cdot (m_e\vec r_e+M_p\vec r_p)/(m_e+M_p)}\Phi_n(\vec x_e-\vec x_p).$

Wenn Sie möchten, dass es normalisierbar ist, müssen Sie Kombinationen mit verschiedenen nehmen $\vec P$ um eine Wellenpaketbewegung für den Massenmittelpunkt zu erhalten.

ACuriousMind · Answer 2

Der Index des Laplace-Operators sagt Ihnen, auf welche der Koordinaten er wirkt, dh ob Sie schreiben $r = (r_x,r_y,r_z)^T$ Und $R = (R_x,R_y,R_z)^T$ als kartesische Koordinaten, dann

\begin{aligned} Δ_{R} & := \frac{\partial^{2}}{\partial {R_{X}}^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial {R_{j}}^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial {R_{z}}^{2}} \\ Δ_{R} & := \frac{\partial^{2}}{\partial {R_{X}}^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial {R_{j}}^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial {R_{z}}^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} \Delta_r & := \frac{\partial^2}{\partial {r_x}^2} + \frac{\partial^2}{\partial {r_y}^2} + \frac{\partial^2}{\partial {r_z}^2} \\ \Delta_R & := \frac{\partial^2}{\partial {R_x}^2} + \frac{\partial^2}{\partial {R_y}^2} + \frac{\partial^2}{\partial {R_z}^2} \end{align}$

Danke, das wollte ich wissen. Könnten Sie mir auch sagen, wie die entsprechende $\Psi(r,R)$ Funktion sieht aus?
@Mareck: Du meinst die Lösung? Nein, ich habe die Lösung nicht auswendig gelernt.

Schrödinger-Gleichung für Wasserstoffatom

Mareck

Antworten (2)

Timäus

ACuriousMind

Mareck

ACuriousMind

Hat jemand das Verfahren zur Verallgemeinerung von Leiteroperatoren für irgendein Potential in Schrödingers Gleichung veröffentlicht?

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