Operator in der Quantenmechanik

Wenn Sie eine strenge Formulierung der Quantenmechanik wissen möchten, lesen Sie bitte das erste Kapitel des Buches Dirac Kets, Gamow Vectors and Gelfand Tripletes--The Rigged Hilbert Space formula of Quantum Mechanics von A.Bohm und M.Gadella. Das ist ein riesiges Thema und kann nicht in ein paar Zeilen beantwortet werden. Nachfolgend liste ich einige wichtige Fakten auf.

Komplettes System von Pendlerbetreibern

$\{A_k\}$,$k=1,2,\cdots,N$ist ein System pendelnder Operatoren auf einem manipulierten Hilbert-Raum $\Phi \subset H \subset \Phi^X$iff

1. $[A_i,A_k] = 0$für alle$i,k = 1,\cdots,N$
2. $\sum A_k^2$ist im Wesentlichen selbstadjungiert

$\{A_k\}$ist ein vollständiges Pendelsystem, wenn es einen Vektor gibt$\phi \in \Phi$so dass$\{A\phi| A$läuft die von erzeugte Algebra ab$\{A_k\}\}$Spannweiten$H$.

Ein antilineares Funktional$F$An$\Phi$ist ein verallgemeinerter Eigenvektor für das System$A_k$wenn überhaupt$k=1,\cdots,N$

$$(A_k)^X F = \lambda^{(k)}F$$ Die Menge der Zahlen $\lambda = (\lambda^{(1)},\cdots,\lambda^{(N)})$heißen verallgemeinerte Eigenwerte $F_{\lambda} = |\lambda^{(1)},\cdots,\lambda^{(N)}\rangle$.

Kernspektralsatz

Lassen$\{A_k\}$,$k=1,2,\cdots,N$im Wesentlichen ein vollständiges Pendelsystem sein$\tau_{\Phi}$-Kontinuierliche Operatoren auf dem manipulierten Hilbert-Raum$\Phi \subset H \subset \Phi^X$. Dann existiert eine Menge verallgemeinerter Eigenvektoren

$$|\lambda^{(1)},\cdots,\lambda^{(N)}\rangle \in \Phi^X$$ $$(A_k)^X|\lambda^{(1)},\cdots,\lambda^{(N)}\rangle = \lambda^{(k)}|\lambda^{(1)},\cdots,\lambda^{(N)}\rangle$$ $$\lambda^{(k)} \in \Lambda^{(k)} = \mbox{ spectrum of } A_k$$ so dass für jeden $\phi \in \Phi$und ein eindeutig definiertes Maß $\mu$An $\Lambda = \Lambda^{(1)} \times \cdots \times \Lambda^{(N)}$, $$(\psi|\phi) = \int_{\Lambda} d\mu(\lambda) \langle \psi | \lambda^{(1)},\cdots,\lambda^{(N)} \rangle \langle \lambda^{(1)},\cdots,\lambda^{(N)} | \phi \rangle$$ .

Kommentare

Grob gesagt, die Äquivalenz der$L^2(\mathbb{R},\mathbb{C})$Und$H$ist dadurch gewährleistet, dass$X$ist ein System pendelnder Operatoren auf einem manipulierten Hilbert-Raum. Der geforderte manipulierte Hilbert-Raum sollte aus dem ursprünglichen Hilbert-Raum konstruiert werden, wenn die Algebra der Operatoren gegeben ist. Die Notation von$|\psi\rangle = \int dx \langle x | \psi \rangle |x\rangle$gilt im Sinne der Durchführung des inneren Produkts und wird durch das Kernspektrum-Theorem garantiert.

Die ganze Konstruktion ist sehr kompliziert und subtil und erfordert viele Konzepte der modernen Funktionsanalyse. Bitte lesen Sie auch hier das von mir empfohlene Buch, wenn Sie wirklich an diesem Thema interessiert sind.

Die Wellenfunktion$\left| \psi\right>$ist ein Element in einem abstrakten Hilbert-Raum$H$. Wenn wir nun Experimente durchführen, müssen wir eine Basis wählen. Wenn Ihnen die Position für Ihr Experiment wichtig ist, müssen Sie die Wellenfunktion in die Positionseigenbasis schreiben. In Anlehnung an die Intuition und Notation von endlichdimensionalen Vektorräumen (was meiner Meinung nach immer fragwürdig ist) wählen wir die Positionsbasis$\left|x\right>$und Projekt auf unsere Basis zu bekommen$\left<x \vert \psi \right> := \psi(x)$.

Jetzt können wir im abstrakten Hilbert-Raum auch Operatoren wie den Impulsoperator haben$\hat{p}$. Wir müssen herausfinden, wie es auf unsere Wellenfunktion wirkt. Es stellt sich heraus, dass es als Generator von Raumübersetzungen definiert ist. Betrachten Sie dazu den durch die Aktion definierten Übersetzungsoperator:

$$T_a \left|x\right> = \left|x+a\right>$$ Dies bedeutet $\left< \psi\right|T_a\left|x\right> =\left< \psi\vert x+a\right>= \left< x -a \vert \psi \right> = \psi(x-a)$Ich habe die Tatsache ausgenutzt $\left<x\right|T^{\dagger}_a = \left<x-a\right|$. Jetzt definieren wir eine Verbindung auf unserem Raum, dh etwas, das uns so von einem Punkt zum anderen bringt, $$\hat{p} \left| \psi \right> = i \hbar \lim_{a \rightarrow 0}\frac{T_a\left|x\right> -\left|x\right> }{a} \implies i \hbar\lim_{a \rightarrow 0}\frac{\psi(x-a) - \psi(x)}{a} = i \hbar \frac{d}{dx}\psi(x)$$

Wie interpretieren wir dann das Integral?$\int_{-\infty}^{\infty}\psi(x) \left| x \right >\, dx?$Unter Verwendung der Analogie von endlichdimensionalen Räumen können wir sie uns wiederum als eine unendlichdimensionale Analogie des Folgenden vorstellen

$$\sum_{n=-M}^{n=M}\psi(a + n \Delta x)\left| a + n \Delta x\right > \Delta x$$ In endlichen Dimensionen sieht man deutlich, dass wir einen Spaltenvektor bekommen und der Wert eines Slots im Vektor durch die Summe gegeben ist.

Zusammenfassend wählen wir nur eine Basis aus, auf der wir unsere Wellenfunktion schreiben. Wenn ich die Impulsbasis brauche, muss ich die Projektion machen$\left< p \vert \psi \right > : = \psi(p)$. Ich fühle dich dagegen, da wir es mit unendlichen dimensionalen Räumen zu tun haben und es nicht klar ist, dass wir streng genommen eine Eigenbasis haben, aber es funktioniert irgendwie, also vergib und vergiss es.