Anwenden eines Operators auf eine Wellenfunktion vs. einen (Ket-)Vektor

Ich schätze diese Frage sehr. Du hast vollkommen recht und deine Verwirrung ist verständlich. Leider ist die Physikwelt manchmal etwas schlampig in der Verwendung von Notationen.

Natürlich beim Schreiben$P\psi(x)$man beabsichtigt nicht, den Operator auf einen Skalar anzuwenden, sondern die$P$wird auf den Ket-Vektor angewendet$\psi$.

Aber jetzt kommt die Hauptquelle der Verwirrung, IMO. Während für Sie die Wellenfunktion wirklich gerecht ist

die Koeffizienten eines Zustandsvektors, wenn der Vektor in einer bestimmten Basis geschrieben ist

und der Zustandsvektor Element eines abstrakten Hilbert-Raums ist, werden viele Leute argumentieren, dass der Hilbert-Raum tatsächlich ein Funktionenraum ist. Welche genau, hängt vom betrachteten System ab, aber speziell für ein freies Teilchen wird es sein$L^2(\mathbb R,\mathbb C)$, also der Raum der quadratintegrierbaren Funktion, ab$\mathbb R$Zu$\mathbb C$. In diesem Raum also die eigentliche Funktion$\psi$ist der Vektor. Dieser Raum ist linear (auch bekannt als Vektorraum) und hat auch ein Skalarprodukt, das über das Integral definiert ist. Es ist auch vollständig , was bedeutet, dass man Identitäten einfügen kann, wie Sie es oben getan haben. Genau das ist ein Hilbert-Raum (für einen Mathematiker): ein vollständiger Vektorraum mit einem Skalarprodukt.

Bei dieser Betrachtungsweise ist es legitim, einen Operator auf eine Funktion anzuwenden. Tatsächlich erfolgt erst jetzt die Identifizierung$P=-i\hbar\partial_x$irgendeinen Sinn machen. Es ist ein Differentialoperator, der auf Funktionen angewendet werden kann.

Der Vorteil der Dirac-Braket-Notation besteht darin, dass Sie sich von allen konkreten Realisierungen des zugrunde liegenden Hilbert-Raums zurückziehen können. Das hat einige Vorteile:

• Die Analogie zur linearen Algebra ist ausgeprägter.
• Viele allgemeine Ideen, die in der Quantentheorie auftauchen, können unabhängig vom untersuchten System formuliert werden. Insbesondere ist der Formalismus derselbe für den unendlichdimensionalen Hilbert-Raum wie den$L^2$und endlichdimensionale Hilbert-Räume wie$\mathbb C^2$, der Spin-1/2-Raum.
• Der Basiswechsel ist sehr transparent. Speziell die Verbindung von Orts- und Impulsraum über die Fourier-Transformation ergibt sich auf natürliche Weise.

Warum sollten wir uns also die Mühe machen, in Veranstaltungsräumen zu arbeiten?

• Sie führt zu Differentialgleichungen, die eine gut verstandene Theorie haben.
• Es gibt einige mathematische Feinheiten$^1$beteiligt, wenn es um unendlich dimensionale Räume geht. Diese lassen sich am besten in Veranstaltungsräumen nachvollziehen.
• Oft müssen wir die gesegnete Welt der Hilbert-Räume verlassen und darüber hinausgehen. Der Raum ist dann nicht mehr vollständig. Delta-Funktionen sind ein solches Beispiel. Sie sind sicherlich nicht quadratisch integrierbar, zum Teufel, das Quadrat einer Delta-Funktion ist nicht einmal definiert. Ich werde hier nicht in die Tiefe gehen. Der Ausdruck, nach dem Sie suchen müssen, ist Gelfand space triplet .

---

$^1$Für einen Überblick darüber, was in der Quantenmechanik furchtbar schief gehen kann, wenn man sich mit Diracs Notation vertraut macht, empfehle ich diesen ausgezeichneten Artikel: F. Gieres, Mathematical Überraschungen und Diracs Formalismus in der Quantenmechanik , arXiv:quant-ph/9907069

---

Bearbeiten Sie als Antwort auf den Kommentar von @ Jyothi:

Die Wirkung des Impulsoperators als Ableitung kann geschrieben werden als$\langle x|\hat P|\psi\rangle = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\langle x|\psi\rangle$.

Betrachten Sie nun die folgende Berechnung der Wirkung des Operatorprodukts$\hat P\hat X$:

$$\langle x|\hat P\hat X|\psi\rangle = \int\mathrm dx'\,\langle x|\hat P\hat X|x'\rangle\langle x'|\psi\rangle = \int\mathrm dx'\,x'\langle x|\hat P|x'\rangle\langle x'|\psi\rangle\\ = -i\hbar\int\mathrm dx'\,x'\psi(x')\frac{\partial}{\partial x}\delta(x-x')\\ = +i\hbar\int\mathrm dx'\,x'\psi(x')\frac{\partial}{\partial x'}\delta(x-x')\\ =-i\hbar\int\mathrm dx'\,\delta(x-x')\frac{\partial}{\partial x'}(x'\psi(x'))\\ =-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}(x\psi(x))\\ = -i\hbar\Bigl(\psi(x)+x\frac{\partial}{\partial x}\psi(x)\Bigr)\\ =-i\hbar\langle x|\psi\rangle + x\langle x|\hat P|\psi\rangle\\ =-i\hbar\langle x|\psi\rangle + \langle x|\hat X\hat P|\psi\rangle\\ =\langle x|(-i\hbar+\hat X\hat P)|\psi\rangle.$$ In der dritten Zeile habe ich eine Ableitung für umgeschrieben $x$als Derivat für $x'$, ergibt ein Minuszeichen. Im nächsten Schritt wurde die partielle Integration verwendet, wobei argumentiert wurde, dass die Randterme bei verschwinden $\pm\infty$. Unter der Annahme, dass dies für allgemein gilt $|\psi\rangle$, kann man die Operatoren auf der LHS und RHS gleichsetzen, gebend $\hat P\hat X=-i\hbar+\hat X\hat P$oder $[\hat X,\hat P]=i\hbar$.

Diese "Berechnung" ist stark handgewellt, nichts davon ist mathematisch streng. Zum Beispiel nehme ich Derivate von$\delta$was nicht definiert ist. Aber ich glaube, dass das Wesentliche dieser Berechnung im Sinne der Verteilung strenger gemacht werden könnte. Außerdem ist der Kommutator meiner Meinung nach tatsächlich grundlegender, und dies zeigt, wenn überhaupt, dass die Wellenfunktionsdarstellung damit kompatibel ist.

Ihre Verwirrung rührt von dem schnellen her, dass dies eine Mischung aus Notationsmissbrauch und verschiedenen Hilbert-Räumen ist, mit denen Sie arbeiten können:

Im Allgemeinen der abstrakte Operator$A$wirkt auf einen abstrakten Vektor$|\psi\rangle$, zum Beispiel der Impulsoperator$\hat p$wirkt auf seine Eigenzustände$|p\rangle$von$\hat p |p \rangle = p |p \rangle$.

Im Wellenfunktionsformalismus sagen wir das für einen Hilbert-Raum, der eine Positionsbasis hat$|x\rangle$, können wir in den Raum der quadratintegrierbaren Funktionen wechseln$L^2(\mathbb{R})$ohne Informationsverlust durch Definition$\psi(x) = \langle x | \psi \rangle$. Das$\psi(x)$now ist eine Skalarfunktion, und es ist ein Vektor als Element des Hilbert-Raums$L^2(\mathbb{R})$. Nun müssen Operatoren auf diesem Hilbert-Raum Operatoren auf den Funktionen sein, und es stellt sich heraus, dass die explizite Form des Impulsoperators ist$\hat p = \mathrm{i}\hbar \partial_x$. Dies kann man sehen, wenn man den Impulsoperator als Erzeuger von Translationen betrachtet$T(\delta x) = 1 - \frac{\mathrm{i}}{\hbar}\hat p \delta x$die als handeln muss$T(\delta x) |x\rangle = |x + \delta x\rangle$und dies dann auf einige anwenden$|\psi\rangle$. Lassen Sie mich wissen, wenn Sie möchten, dass ich diese (nicht allzu lange) Berechnung durchführe.

Ihre Ausführungen haben mir klarer gemacht, was Sie eigentlich wollen, das Folgende soll darauf eingehen:

Im Allgemeinen die Kets$|\psi\rangle$sind Elemente eines abstrakten Hilbert-Raums$\mathcal{H}$, wir wissen nichts mehr über sie.

In dem Kontext, in dem wir diskutieren,$\mathcal{H}$ist der Zustandsraum eines sich in einer Dimension bewegenden Teilchens, den wir nennen werden$\mathcal{H}_{1D}$. Es wird konstruiert, indem man sagt, dass es einen Operator gibt$\hat x$An$\mathcal{H}_{1D}$und eine Reihe von Zuständen$X := \{|x\rangle | x \in \mathbb{R} \}$welche die Eigenvektoren von sind$\hat x$, dh$\hat x | x \rangle = x | x \rangle\forall |x\rangle \in X$, und das verlangen$X$ist eine Grundlage von$\mathcal{H}_{1D}$, wobei "Basis" eine "manipulierte Basis" bedeutet, wie auch in dieser Antwort von mir erklärt . Im Folgenden sind keine der Integrale und Manipulationen beteiligt$\lvert x \rangle$sind absolut mathematisch streng.

Betrachten Sie nun den Hilbert-Raum quadratisch integrierbarer Funktionen$f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$, bezeichnet$L^2(\mathbb{R},\mathbb{C})$. Zu jeder Funktion$\psi :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$mit$\psi \in L^2(\mathbb{R},\mathbb{C})$, definieren wir die Karte

$$\mathrm{Ket}: L^2(\mathbb{R},\mathbb{C})\rightarrow \mathcal{H}_{1D}, \psi \mapsto|\psi\rangle := \int_{-\infty}^\infty\psi(x)|x\rangle\mathrm{d}x,$$ wobei das Integral eine Verallgemeinerung der üblichen Basiszerlegung sein soll $\sum_n c_n \vert n\rangle$für eine zählbare Basis und sollte wahrscheinlich eine Art Bochner-Integral sein , aber der Raum der $\lvert x\rangle$live in ist leider kein Banachraum, daher geht das nicht ohne Weiteres.

Sicherlich unterschiedliche Funktionen$\psi,\psi'$kann auf diese Weise nicht dasselbe Ket erzeugen, da z$\psi \neq \psi'$, Wir müssen haben$\psi(x_0) \neq \psi'(x_0)$bei einigen$x_0 \in \mathbb{R}$, so dass sich die generierten Kets unterscheiden, da sich der Koeffizient von mindestens einem Basis-Ket zwischen ihnen unterscheidet. Somit ist diese Karte injektiv und es gehen keine Informationen verloren.

Umgekehrt für ein bestimmtes Ket$|\psi\rangle$Karte definieren

$$\mathrm{Func} : \mathcal{H}_{1D} \rightarrow L^2(\mathbb{R},\mathbb{C}), |\psi\rangle\mapsto (\psi : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}, x \mapsto \langle x | \psi \rangle)$$

Ignorieren dieser Tatsache, dass die$\psi$hier handelt es sich nicht immer wirklich um eine Funktion, sondern gehört zum größeren Raum der temperierten Distributionen$L^2(\mathbb{R},\mathbb{C})$, können wir wieder sehen, dass verschiedene Kets nicht dieselbe Funktion erzeugen können$\psi$, seit$\langle x | \psi\rangle$gibt die Koeffizienten in der Basis an$X$, und zwei Vektoren mit identischen Basiskoeffizienten sind identisch. Somit ist auch diese Karte injektiv, vergisst also auch keine Informationen.

Nochmals, wenn Sie die mathematischen Feinheiten ignorieren (was Sie nicht tun sollten, nachdem Sie sich mit den Grundkonzepten vertraut gemacht haben!), sind diese Karten eigentlich umgekehrt zueinander und zeigen somit, dass es keinen Unterschied in den darin kodierten Informationen gibt$\mathcal{H}_{1D}$Und$L^2(\mathbb{R},\mathbb{C})$.

Was ist mit Operatoren? Lassen Sie mich das am Beispiel des Positionsoperators verdeutlichen$\hat x$. Das Skalarprodukt von$L^2(\mathbb{R},\mathbb{C})$wird von gegeben

$$(\psi,\phi) = \int_{-\infty}^\infty \phi(x)\bar\psi(x)\mathrm{d}x\forall \phi, \psi \in L^2(\mathbb{R},\mathbb{C})$$

und die definierende Eigenschaft des Positionsoperators ist that$\hat x |x\rangle = x|x\rangle$, und so die Karte anwenden$\mathrm{Func}$dazu ergibt$\langle \psi | \hat x | x\rangle = x \langle \psi | x \rangle$, was sofort nachgibt$\mathrm{Func}(\hat x | x \rangle) = x \mathrm{Func}(|x\rangle)$und bedeutet das Darstellen$\hat x$An$L^2(\mathbb{R},\mathbb{C})$ist nichts anderes als das Multiplizieren einer Funktion$\psi$durch die Identitätsfunktion$id_\mathbb{R}(x) = x$.

Um es absolut narrensicher ¹ zu machen , müssten Sie die Operatoren über ihre Eigenbasis definieren:

$$P|\psi\rangle = \int_\mathbb{R}\!\!\mathrm{d}p\ (p\cdot|p\rangle\langle p|\psi\rangle)$$ wo _{(Verhältnismäßigkeit$\propto$bedeutet, dass Sie die Fourier-Transformation noch normalisieren müssten)} $$|p\rangle \propto \int_\mathbb{R}\!\!\mathrm{d}x\ e^{-i(p/\hslash)x} |x\rangle.$$

Aber weil$P$(wie fast alles, was Sie in den Hilbert-Räumen der Quantenmechanik finden) ein linearer Operator ist , ist es nicht wirklich notwendig, eine solche "richtige Definition" der Funktion zu geben $P : \mathcal{H} \to \mathcal{H}$. Stattdessen können Sie das Ergebnis einfach definieren, indem Sie alle möglichen Skalarprodukte ² angeben :

$$\langle x|P|\psi\rangle = -i\hslash \frac{\partial \psi(x)}{\partial x} = -i\hslash \frac{\partial \langle x|\psi\rangle}{\partial x}.$$ Dies ist mittels partieller Integration ³ äquivalent zur anderen Definition: $$\begin{align} \int_\mathbb{R}\!\!\mathrm{d}p\ (p\cdot\langle x|p\rangle\langle p|\psi\rangle) \propto& \int_\mathbb{R}\!\!\mathrm{d}p \int_\mathbb{R}\!\!\mathrm{d}x'\! \int_\mathbb{R}\!\!\mathrm{d}x'' \ p\cdot e^{-i(p/\hslash)(x'-x'')} \langle x|x''\rangle \langle x'|\psi\rangle \\=& \int_\mathbb{R}\!\!\mathrm{d}p \int_\mathbb{R}\!\!\mathrm{d}x' \ p\cdot e^{-i(p/\hslash)(x'-x)} \langle x'|\psi\rangle \\=& \int_\mathbb{R}\!\!\mathrm{d}p\ (i\hslash) \int_\mathbb{R}\!\!\mathrm{d}x' \ (\tfrac{\partial}{\partial x'} e^{-i(p/\hslash)(x'-x)}) \langle x'|\psi\rangle \\=& -i\hslash\int_\mathbb{R}\!\!\mathrm{d}p \int_\mathbb{R}\!\!\mathrm{d}x' \ e^{-i(p/\hslash)(x'-x)} (\tfrac{\partial}{\partial x'} \langle x'|\psi\rangle) \\\propto& -i\hslash \frac{\partial \langle x | \psi \rangle}{\partial x}. \end{align}$$

Einfach schreiben$P = -i\hslash \frac{\partial}{\partial x}$ist eine ziemlich natürliche Abkürzung für die Skalarproduktdefinition.

---

¹ _{Eigentlich habe ich dort immer noch schlampige Notation verwendet:$|x\rangle$Und$|p\rangle$beides verschiedene Dinge bedeuten$x$Und$p$sind nur willkürliche Integrationsvariablennamen ... aber leider tun Physiker dies die ganze Zeit. Genau genommen müssten wir so etwas schreiben wie$|\mathrm{loc}_x\rangle$Und$|\mathrm{mom}_p\rangle$für diese Eigenzustände.}

² _{D.h. Sie definieren im Grunde die dyadische Funktion$P: \mathcal{H}\to\mathcal{H}^\ast \to \mathbb{C}$.}

³ _{Wenn wir in einem unbegrenzten Raum arbeiten (oft auch, wenn wir es nicht sind ...), ignorieren wir Grenzbegriffe.}

Wie im Kommentar von @AlfredCentauri gesagt, muss man so denken$|\psi\rangle$als komplexen Vektor schreiben wir ist$\vec \psi$.

$|x\rangle$stellt ein Element einer Basis dar, also schreiben wir es$\vec e_x$. Wie jeder Vektor können wir zerlegen$\vec \psi$auf der$\vec e_x$Grundlage:

$$\vec \psi = \sum \psi_x \vec e_x$$

$\psi_x$ist die Komponente des Vektors$\vec\psi$auf der$\vec e_x$Achse, und Sie haben einfach:

$$\psi_x = \psi(x) = \langle x|\psi\rangle = (\vec e_x)^\star.\vec \psi \tag{1}$$

$A$ist ein Operator (z. B. eine Matrix), der auf den Vektor angewendet wird$\vec \psi$, So$(A\psi)(x)$ist einfach$(A\psi)_x$, die Komponente des Vektors$A\vec \psi$, auf der$\vec e_x$Achse, und Sie können es schreiben, indem Sie (1) auf den Vektor anwenden$A\vec \psi$anstatt$\vec \psi$:

$$(A\psi)_x = (A\psi)(x)=\langle x|A\psi\rangle= (\vec e_x)^\star. (A\vec \psi) \tag{2}$$