Probleme mit der Operatorassoziativität in der Quantenmechanik

Lehrbuchautoren weisen oft darauf hin, dass Operatoren im Allgemeinen nicht kommutativ sind, was zu Verwirrung führt. Ein weiterer Punkt der Verwirrung, den ich nirgendwo erwähnt habe, ist das Problem mit der Assoziativität.

Man könnte naiv eine Berechnung wie durchführen

P ^ X ^ ψ ( X ) = − ich ℏ D D X X ψ ( X ) = − ich ℏ D X D X ψ ( X ) = − ich ℏ ψ ( X ) .
Das habe ich getan, als ich zum ersten Mal versuchte, dies zu bewerten. Weil ich nicht wusste, dass Operatoren nicht so assoziieren. Kein Lehrbuch, das ich kenne, erwähnt es und ich bin wahrscheinlich nicht der einzige, der in diese Falle getappt ist.

Ich suche weitere Informationen zu Fragen der Operatorassoziativität im QM.

EDIT: Betrachten Sie einen Fall wie diesen: A ^ P ^ X ^ .

Da Sie nur zwei Operatoren haben, ist Assoziativität die Eigenschaft ( A B ) C = A ( B C ) , darum kann es hier doch nicht gehen.
Wie Ricky in seiner Antwort implizit hervorhebt, besteht das Problem darin, dass Sie die Kettenregel bei der Anwendung der Ableitung nicht verwendet haben. Das Derivat sollte angewendet werden X ψ ( X ) , nicht nur X .
Eine Reihe von Kommentaren entfernt. Eine Person, die über Grammatik diskutieren möchte, könnte einen Beitrag auf Physics Meta schreiben , aber sie möchte zuerst ihre Recherche durchführen.
Einige weitere Kommentare entfernt. Eine Person, die einen Beitrag auf Physics Meta veröffentlicht , sollte außerdem sicherstellen, dass ihr Beitrag mit dem Verhaltenskodex übereinstimmt . Hör auf, hier.
Es gibt nur einen Weg P ^ X ^ ψ sollte gelesen werden, und das ist wie P ^ ( X ^ ψ ) . Ebenfalls, ( A ^ P ^ X ^ ) wäre ein Operator, der abbildet ψ Zu A ^ [ P ^ ( X ^ ψ ) ] .

Antworten (1)

QM-Operatoren sind assoziativ, aber Sie müssen vorsichtig sein, wie Sie Dinge berechnen. P ^ Und X ^ sind lineare Abbildungen von Funktionen zu Funktionen. P ^ bildet die Funktion ab F ( X ) Zu − ich ℏ F ' ( X ) während X ^ bildet eine Funktion ab F ( X ) Zu X F ( X ) . Sie zu multiplizieren ist gleichbedeutend mit dem Zusammensetzen der linearen Abbildungen. Hier ist, wie zu berechnen P ^ X ^ :

Um genau zu wissen, was der letzte Operator ist, müssen wir sein Verhalten kennen, wenn er auf alle Funktionen angewendet wird F . Also lass F eine beliebige Funktion sein. Dann haben wir:

P ^ X ^ F ( X ) = P ^ ( X ^ F ( X ) ) = P ^ ( X F ( X ) ) = − ich ℏ ∂ ∂ X ( X F ( X ) ) = − ich ℏ ( F ( X ) + X F ' ( X ) )

Da wir nun das Verhalten kennen, wenn es auf alle Funktionen angewendet wird, können wir die unbekannte Funktion entfernen F und schreiben Sie einfach den Operator als:

P ^ X ^ = − ich ℏ ( 1 + X ∂ ∂ X )

Ich denke, Griffiths hat einige Diskussionen über diese "Dummy-Funktion" -Technik zum Multiplizieren von Operatoren.

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