Substitution durch harmonische Quantenoszillatoren

Die Schrödinger-Gleichung für den harmonischen Oszillator lautet

( − ℏ 2 2 M ∂ 2 ∂ X 2 + M ω 2 2 X 2 ) ψ ( X ) = E ψ ( X ) .
Dann oft X wird durch ersetzt X = ξ A , Wo A = ℏ / M ω , was dazu führt
ℏ ω 2 ( − ∂ 2 ∂ ξ 2 + ξ 2 ) ψ ( ξ ) = E ψ ( ξ ) .
Meine Frage ist also, ob es jetzt nicht sein sollte ψ ( A ξ ) , oder definieren sie ψ ' ( ξ ) = ψ ( A ξ ) und dann umbenennen?

Die Frage bezieht sich eigentlich auf Mathematik.
Können Sie die Quelle dafür nennen?
@RogerVadim Ich denke, diese Frage passt immer noch am besten zum Physik-Stack-Austausch. Viel mehr Physiker als Mathematiker haben mit der Schrödinger-Gleichung gearbeitet und nur weil ein physikalisches Konzept Mathematik enthält, heißt das nicht, dass es sich um eine mathematische Frage handelt.
@AccidentalTaylorExpansion Ich denke, diese Frage betrifft die allgemeine mathematische Technik, weshalb vorgeschlagen wurde, sie in die Math-Community zu verschieben. Aber ich stimme zu, dass es hier in einem bestimmten Kontext auftaucht, der hauptsächlich für Physiker von Interesse ist.

Antworten (2)

Ja, du hast recht, man definiert das eben neu ψ ( X ) = ψ N e w ( ξ ) = ψ ( A ξ ) . Die Schrödinger-Gleichung lautet somit

ℏ ω 2 ( − ∂ 2 ∂ ξ 2 + ξ 2 ) ψ N e w ( ξ ) = E ψ N e w ( ξ )
Die grundlegende Motivation besteht darin, die unabhängige Variable nicht zu dimensionieren. Um das Original wiederherzustellen ψ ( X ) , wir haben
ψ ( X ) = ψ N e w ( X A )

Um eine solche Operation richtig auszuführen, muss man tatsächlich eine neue Funktion definieren

ϕ ( ξ ) = ϕ ( A X ) = ψ ( X ) .
Allgemeiner gesagt, beim Definieren neuer Variable(n) ζ ( X ) hat man
ϕ ( ξ ) = ϕ ( ξ ( X ) ) = ψ ( X ) .
Man kann dann die Ableitungen berechnen als z.
D ψ ( X ) D X = D ϕ ( ξ ) D X = D ϕ ( ξ ) D ξ D ξ D X , D 2 ψ ( X ) D X 2 = D 2 ϕ ( ξ ) D X 2 = D 2 ϕ ( ξ ) D ξ 2 ( D ξ D X ) 2 + D ϕ ( ξ ) D ξ D 2 ξ D X 2 ,
usw.

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