Wendepunkte & zweite Ableitung der Wellenfunktion

Für eine Energieeigenfunktion der Energie$E$:

$$0 = (\hat{H} - E) \,\psi = \frac{1}{2m} \hat{P}^2 \,\psi + (\hat{V}-E) \,\psi$$ oder in Positionsdarstellung: $$\frac{1}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \psi(x) = (V(x)-E) \,\psi(x)$$ also die zweite Positionsableitung von $\psi$verschwindet wann immer $V(x) = E$, dh $x$liegt am Rande des klassisch erlaubten Bereichs.

Wie von @By Symmetry erwähnt, können wir aus dieser Gleichung auch ablesen, dass die Wellenfunktion dazu neigt, innerhalb des physikalisch zulässigen Bereichs ein oszillierendes Verhalten ^* zu haben und außerhalb exponentiell unterdrückt zu werden .

_{* Im Fall des Grundzustands des harmonischen Oszillators ist das Schwingungsverhalten nicht offensichtlich, da nur vorhanden$1/2$eine Schwingung innerhalb des erlaubten Bereichs ...}

Die Grundzustandswellenfunktion des harmonischen Oszillators ist eine Gaußsche. Die Wendepunkte einer Gaußschen Funktion (wobei die zweite Ableitung ist$0$) treten bei plus und minus einer Standardabweichung vom Mittelpunkt auf. Das sagt Ihnen also etwas indirekt, dass die durchschnittliche Streuung der Position des Partikels im Boden durch die Größe des klassisch erlaubten Bereichs gegeben ist.

Es ist ein allgemeines Merkmal, dass in klassisch verbotenen Bereichen der kinetische Energieterm der Hamilton-Operator negativ sein muss, was dazu führt, dass die Wellenfunktion in diesen Bereichen exponentiell abfällt.

An einem Wendepunkt oder Wendepunkt, an dem sich die Wellengleichung von einem sich nach oben bewegenden Punkt durch eine unendlich kurze (vermutlich) Änderung zu einem sich nach unten bewegenden Pfad ändert, scheint die Wende die Bedingung zu stellen, dass eine fast verwirrende Vielfalt verschiedener Pfade beginnen kann. Die Welle an der Biegung weiß nicht, ob sie eine Sinuswelle, eine Hyperbel, eine gerade Linie, einen Kreis, eine Ellipse oder eine andere glatte kontinuierliche Kurve fortsetzt.

Ich sah eine Gruppe von Möglichkeiten innerhalb einer Photonenwelle. Es war entweder eine Energie- oder eine Impulswelle. Ich habe Ideen wie die Planck-Zeit und die Planck-Länge verwendet, um ein Gefühl für das Bild der Welle zu bekommen. Wie auch immer, der Moment der Mehrdeutigkeit an der Biegung scheint der Ort zu sein, an dem Unsicherheit hinsichtlich Frequenz, Impuls oder welcher anderen Variablen auch immer die Welle folgt, auftreten kann.

An diesem Punkt scheint die Welle einen sehr winzigen Teil ihrer wahren Natur in die Wahrscheinlichkeit zu verlieren, dass sie eine von MEHREREN Möglichkeiten ist, und die Mehrdeutigkeit führt zu diesem winzigen Verlust, der Teil einer Quantentheorie sein kann die beobachtete Rotverschiebung im Licht extrem entfernter Galaxien.

Auch in diesem Moment hat er neben der wahren Bahn (die schließlich natürlich dominiert) Möglichkeiten wie eine Ellipse, eine Kreisbahn in die falsche Richtung, eine Hyperbel, eine Gaußsche usw. Es hilft, sich mit dem Planck-Wirkungsquantum, dem Planck, vertraut zu machen Masse, Planck-Zeit, Planck-Länge und andere kleine Konstanten, weil die meisten Wellen, die wir visualisieren, Licht- oder manchmal Radio-TV-Wellen sind.