Hat jemand das Verfahren zur Verallgemeinerung von Leiteroperatoren für irgendein Potential in Schrödingers Gleichung veröffentlicht?

Mir ist keine derartige Veröffentlichung bekannt. Allerdings ist diese Fragestellung vielleicht einerseits einfach zu trivial und andererseits zu weit von der Praxisrelevanz entfernt. Lassen Sie uns ableiten, was Sie sehen möchten:

Ein Kreationsleiter-Operator$\hat{a}^\dagger$denn willkürliche Zustände müssten von der Form sein

$$\sum_{n=0}^\infty c_n \left| n+1 \right\rangle \left\langle n \right|$$ wo Sie eine Freiheit erlauben könnten, Koeffizienten zu wählen $c_n$zu versuchen, alle nützlichen Funktionen von zu erfüllen $\hat{a}^\dagger$Und $\hat{a}$Sie möchten vielleicht eine Verallgemeinerung des Zahlenoperators $\hat{a}^\dagger \hat{a}$. Sie können wählen, dass ihre Eigenwerte die Quantenzahl sind $n$oder die Energie dividiert durch die Energiedifferenz zwischen Grundzustand und erstem angeregten Zustand – beides, und wahrscheinlich sind einige andere Wahlmöglichkeiten sinnvolle Verallgemeinerungen der Situation für den harmonischen Oszillator. In der Tat durch die Wahl $c_n = \sqrt{n+1}$und ein harmonischer Oszillator Hamiltonian oder dann $\hat{H}=\hbar \, \omega \, \big( \hat{a}^\dagger \hat{a} + \frac{1}{2} \big)$, reproduzieren Sie die Gleichungen, die Sie in der Frage angegeben haben, in einer einfacheren Notation, die von der Positions- und Impulsdarstellung abstrahiert.

Allgemein,$\hat{a}^\dagger$(evtl. durch die$c_n$und sicherlich durch die Energieeigenzustände$\left| n \right\rangle$) hängt nicht nur von Ihrer Wahl ab, was Sie vom Zahlenoperator erwarten, sondern entscheidend auch vom Hamilton-Operator Ihres Systems. Der direkte Weg zur Ableitung$\hat{a}^\dagger$ist, den Hamilton-Operator für die Energie-Eigenzustände zu lösen – das ist der Weg, den Sie gehen müssten, um Leiteroperatoren aus den ersten Prinzipien zu erhalten, wenn es nicht Lehrbücher gäbe, die einfach eine Definition auf Sie fallen lassen, (möglicherweise) wie die, die Sie reproduziert haben. Sie würden einfach die Energieeigenzustände einfügen$\left| n \right\rangle$und formulieren Sie die Einschränkung für die$c_n$und löse es auf. Das einfachste Beispiel, denn die$c_n$dann nicht vom Hamiltonoperator abhängen, ist die Nebenbedingung, dass der Zahlenoperator die Quantenzahl als Eigenwert hat:

$$\left\langle n \right| \hat{a}^\dagger \hat{a} \left| n \right\rangle = n \qquad \Rightarrow \qquad c_n = \sqrt{n+1}$$

Das bedeutet, dass die Leiteroperatoren für einen bestimmten Hamilton-Operator (nicht harmonischer Oszillator) normalerweise nicht hilfreich sind, um diesen Hamilton-Operator zu lösen, sondern bestenfalls um ihn neu auszudrücken. Ein harmonischer Oszillator ist ein seltener Fall, wo dies zu einer Vereinfachung führt, aber das wird im Allgemeinen nicht der Fall sein. Die Tatsache, dass Sie offensichtlich nicht alle nützlichen Funktionen, zB des Zahlenoperators, beibehalten können, schränkt die Nützlichkeit spezialisierter Ladder-Operatoren weiter ein.